理数

（12分）

已知函数

的一段图象如图所示．

（1）求函数

的解析式；

（2）若函数

在

轴右侧的极小值点的横坐标组成数列

，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项

，试求数列

的前

项和

．

【解析】

试题分析：

（1）根据三角函数的图象求出

，

和

，

的值即可求函数

的解析式；

（

2）求出函数的最小值即函数的极小值，求出数列

的通项公式，利用裂项法进行求解即可．

试题解析：

（1）由图可知，

，

，

因为

，所以

，

由“五点法”作图，

，解得

，

所以函数

的解析式为

（2）易知

为等差数列，设其公差为

，则

，

又函数

在

轴的右侧的第一个极值点横坐标为

，

则有

，得

，所以

，

，

【答案】

（1）

；（2）

.

文数

记

表示

中的最大值，如

,

已知函数

.

（1）求函数

在

上的值域；

（2）试探讨是否存在实数

 

,

 

使得

对

恒成立？若存在，求

的取值范围；若不存在，说明理由

.

【解析】

试题分析：

（1）设

，利用导数与单调性的关系求出

，可得

，求二次函数的值域即可；

（2）同（1）可得

，当

时，原题等价于

对

恒成立，设

，

即可，当

时，不满足

.

试题解析：

（

1）设

，令

，得

递增，令

，得

递减，

，即

，故函数

在

上的值域为

.

（2）①当

时，

,

若

对

恒成立，则

对

恒成立，设

，则

，令

，得

递增，令

得，

递减，

.

②当

时，由①知

对

恒成立，若

对

恒成立，则

恒成立，对

恒成立，即

对

恒成立，这显然不可能，即当

时，不满足

对

恒成立，故存在实数

，使得

对

恒成立，且

的取值范围为

.

【答案】

（1）

；（2）

.

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