【高中数学|高中数学竞赛精华】1、一、三角函数常用公式由于是讲竞赛 ， 这里就不再重复过于基础的东西 ， 例如六种三角函数之间的转换 ， 两角和与差的三角函数 ， 二倍角公式等等 。
但是由于现在的教材中常用公式删得太多 ， 有些还是不能不写 。
先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式积化和差和差化积万能公式三倍角公式二、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外 ， 还有一些sincostan三、三角函数求值给出一个复杂的式子 ， 要求化简 。
这样的题目经常考 ， 而且一般化出来都是一个具体值 。
要熟练应用上面的常用式子 ， 个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的 ， 如果看到一些不常用的角 ， 应当考虑用和差化积、积化和差 ， 一般情况下直接使用不了的时候 ， 可以考虑先乘一个 。

2、三角函数 ， 然后利用积化和差化简 ， 最后再把这个三角函数除下去举个例子求值：提示：乘以 ， 化简后再除下去 。
求值：来个复杂的设n为正整数 ， 求证另外这个题目也可以用复数的知识来解决 ， 在复数的那一章节里再讲四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x为锐角 ， 则；还有就是正余弦的有界性 。
例求证：x为锐角 ， sinx+tanx1 ， q1且则注：这个式子成立的前提挺多 ， 不难看出当p=q=2时 ， 这个式子即为柯西不等式 。
3排序不等式4琴生不等式首先来了解凸函数的定义一般的 ， 设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x1 ， x2都有则称f(x)是(a,b)内的下凸函数 ， 一般说的凸函数 ， 也就是下凸函数 ， 例如 。

3、y=x2 ， 从图像上即可看出是下凸函数 ， 也不难证明其满足上述不等式 。
如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立 ， 则称此函数为严格凸函数 。
注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法 。
这个方法经常使用 。
此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数 ， 凸函数的二阶导数是非负数 。
凸函数具有的常用性质性质一：对于(a,b)内的凸函数f(x) ， 有注：此即常说的琴生不等式性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数 ， 若 ， 则注：加权琴生不等式很重要 ， 当时 ， 即为原始的琴生不等式 。
注：另外 ， 对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分 ， 如果将不等号全部反向 ， 则得到的便是凹函数 ， 以及凹函数的琴生不等式 。
例设xi0（i=1,2,n） ， 求证：注：不仅要用琴生不等式 ， 注意知识综合利用 。
5利用二次函数的性质一般来说 ， 许多题目是涉及x ， y ， z三个量的证明题 ， 由于二次函数的性质十分好用 ， 因此凑出一个关于其中一个字母的二次函数 ， 进而利用二次函数的性质可以解决最值问题 。
例设x,y,z0 ， 且x+y+z=1 ， 求xy+yz+zx-3xyz的最大最小值 。
提示：将x=1-y-z代入 ， 整理成关于y的二次函数 ， 最值即为 ， 整理后不难得到z=0和z=1式分别取到最大值和最小值0 ， 然后只需举一例证明能够取到即可 。

来源：(未知)

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