1、高中数学竞赛辅导第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组及则（同序和）（乱序和）（逆序和）其中是1 ， 2 ， n的任一排列.当且仅当或时等号（对任一排列）成立.证明：不妨设在乱序和S中时（若 ， 则考虑） ， 且在和S中含有项则 事实上 ， 左右=由此可知 ， 当时 ， 调换（）中与位置（其余不动） ， 所得新和调整好及后 ， 接着再仿上调整与 ， 又得如此至多经次调整得顺序和这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然 ， 当或时中等号成立.反之 ， 若它们不全相等 ， 则必存在及k ， 使这时中不等号成立.因而对这个排列中不等号成立.类似地可证“乱序和不小于逆序和”.II应用排序不等式可证明“ 。

2、平均不等式”：设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是此外 ， 还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到 ， 和平方平均（在统计学及误差分析中用到）这四个平均值有以下关系. 其中等号成立的充分必要条件都是.下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：记；由于数组和数组中对应的数互为倒数 ， 由排序不等式得（逆序和） ， 即 从而等号当且仅当或时成立 ， 而这两者都可得到.下面证明对个正数应用得即（符号成立的条件是显然的）.最后证明它等价于而上式左边= ， 于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见 ， 对一切成立.III应用算术平均数几何平均数不等式 ， 可用来证明下述重要不等式.柯西（Cavchy）不等式：设、 。

3、 ， 是任意实数 ， 则等号当且仅当为常数 ， 时成立.证明：不妨设不全为0 ， 也不全为0（因为或全为0时 ， 不等式显然成立）. 记A= ， B=.且令则于是原不等式成为即.它等价于其中等号成立的充要条件是从而原不等式成立 ， 且等号成立的充要条件是IV利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若 ，， 则证明：由题设和排序不等式 ， 有= ， 将上述n个不等式叠加后 ， 两边同除以n2 ， 即得欲证的不等式.赛题精讲I排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式 ， 请看下述例题.例1：对 ， 比较的大小.【思路分析】要应用“排序不等式” ， 必须取两组便于排序的数 ， 这要从两式的结构上去分析.【略解】 取两组数不管的大小顺 。

【高中数学|高中数学竞赛辅导第六讲不等式的应用参数取值范围问题】4、序如何 ， 故.【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.例2： ， 求证【思路分析】 应先将、三个不失一般性地规定为【略解】由于不等式关于、对称 ， 可设于是.由排序不等式 ， 得（乱序和）.及以上两个同向不等式相加再除以2 ， 即得原式中第一个不等式.再考虑数组 ， 仿上可证第二个不等式 ， 请读者自己完成.【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组 ， 而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析 ， 再给出适当的数组.例3：在ABC中 ， 试证：【思路分析】 可构造ABC的边和角的序列 ， 应用排序不等式来证明之.【详解】 不妨设 ， 于是由排序不等式 ， 得相加 ， 得 ， 得 又由有得 由、得原不等式成立.【评 。

5、述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.例4：设是互不相同的自然数 ， 试证【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.【略解】将按由小到大的顺序排成其中是1 ， 2 ， n的一个排列 ， 则于是由排序不等式 ， 得例5：设是正数的一个排列 ， 求证【思路分析】 应注意到【略证】不妨设 ， 因为都大于0. 所以有 ， 又的任意一个排列 ， 于是得到【评述】 此题比较简单 ， 但颇具启发意义 ， 读者应耐心体会.例6：设正数的乘积 ， 试证：【略解】设 ， 这里都是正数 ， 则原需证明的不等式化为中最多只有一个非负数.若中恰有一个非正数 ， 则此时结论显然成立.若均为正数 ， 则是某三角形的三边长.容易验证故得【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见 。

6、下题：设正数、的乘积证明证明：设 ， 且所需证明的不等式可化为 ， 现不妨设 ， 则 ， 据排序不等式得及两式相加并化简可得例7：设实数是的一个置换 ， 证明：【略解】 显然所需证不等式等价于这由排序不等式可直接得到.【评述】 应用此例的证法可立证下题：设是两两互异的正整数（ ， 证明对任意正整数 ， 均有证明：设是的一个排列 ， 使 ， 则从条件知对每个 ， 于是由排序不等式可知II柯西不等式的应用应用柯西不等式 ， 往往能十分简捷地证明某些不等式.例8：设 ， 求证：【思路分析】 注意到式子中的倒数关系 ， 考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系 ， 考虑应用柯西不等式来证之.【详解】， 故由柯西不等式 ， 得 ， 【评述】这是一道高中数学联赛题 ， 还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.针对性训练题1设、 ， 利用排序不等式证明：（1）；（2）；（3）；（4）2设、是三角形三边的长 ， 求证：3已知、 ， 并且求证：4设求证：5若的最大值.6若的最小值.7已知的最小值.8的最值 。

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标题：高中数学|高中数学竞赛辅导第六讲不等式的应用参数取值范围问题