拉格朗日方程|拉格朗日方程与哈密顿原理，终极的自然原则，宇宙的主要动力拉莫尔（英国物理学家和数学

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拉莫尔（英国物理学家和数学家，在对电，动力学，热力学和物质电子理论的理解方面进行了创新）对最小作用原理有一种强烈的、近乎神秘的忠诚……对他来说，这是终极的自然原则——宇宙的主要动力。 ——阿瑟·爱丁顿
两个粒子具有质量M和M ，在半径为R的环形上无摩擦滑动。两个质点通过弹簧上的圆弧A连接起来，圆弧A的弹簧系数是k ，自然长度是a；圆弧B的弹簧系数是k ，自然长度是a 。弹簧平放在桌子上。

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假设要求我们找出质点的运动方程。原则上，牛顿的运动定律足以解决这个问题。但在实践中，用牛顿定律为一个复杂的系统寻找运动方程是困难的。即使这个问题与现实世界中机械系统的复杂性相比也显得微不足道。
当我们发现一个问题太难时，一个好的处理方法是尝试改变我们对这个问题的看法。但我们应该采用什么样的新视角呢？
我们从光学研究中得到了一个令人惊讶的答案。
费马最短时间原理
反射光的基本定律自古以来就已为人所知。当一束光入射到反射面上时，入射角等于反射角：

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亚历山大港的希罗（希腊数学家和工程师）能够从这个事实证明光线所走的路径是它从源头、镜子到目的地的最短路径。也就是说，给定点A和C ，光线在点B从镜子上反射，使得路径的长度最小。
古人无法解决的是折射的问题。当一束光入射到分离两种不同物质（典型的例子是空气和水）的表面时，光线会发生弯曲。

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离开A点的一束光，到达B点的水面，最终到达C点，并不是走A点和C点之间最短的路径。
有关入射角和折射的定律被称为斯涅尔定律，以威勒博德·斯涅利乌斯（1580-1626）命名，尽管它最早是由伊本·萨尔在公元984年发现的。它指出：

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其中n是每种介质的折射率。这一定律是实验发现的，缺乏理论论证。皮埃尔·德·费马（1607-1665）提出了一个证明。费马扩展了古希腊人的发现（即反射光在两点之间的路径最短），取而代之的是光选择了两点之间最短时间的路径。从这个公设，他可以推导出斯涅尔定律。这是中级物理教科书中常见的练习，我可能会在一篇简短的后续文章中讨论它。
费马原理被认为是历史上第一个重要物理思想的例子，自然界将设法以这样一种方式进行物理过程，以尽量减少这一过程所需要的一些重要的量。当然，这里没有任何超自然现象发生，这个观点在19世纪就有了坚实的科学基础。在本文的剩余部分，我们将通过拉格朗日形式主义理论来探讨这一观点。
约束条件，广义坐标和构型空间
我们总是可以用笛卡尔坐标（x,y,z）来表示系统的状态，但根据问题的不同，我们可以选择更有用的变量。我们甚至可以减少我们需要考虑的变量的数量。例如，球面上的点P可以完全用极角和方位角（θ ， φ）来表示，如下图所示：

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任意变量q ， q ， … ， q被称为广义坐标。广义上说，它们可以是我们想要的任何东西，只要它们完全指定了系统的状态而且它们之间没有任何函数依赖性。广义坐标的时间导数称为广义速度。知道应该使用哪些变量是一种直觉技能，只有通过实践才能学会。
当我们选择了广义坐标，我们就可以把系统在任意时刻的状态表示为构型空间中的一点。随着时间的推移，系统在构型空间中跟踪的路径称为轨迹。

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一个机械系统随时间的演化的问题，可以通过看系统在构型空间遵循哪个轨迹来解决。
插曲：泛函
假设一束光在点A和点B之间沿（x,f(x)）给定的平面内路径传播：

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设v(x)为光速与x的函数，在折射率为n的介质中， v=c/n 。在这个问题中， n是y的函数，有：