拉格朗日方程|拉格朗日方程与哈密顿原理，终极的自然原则，宇宙的主要动力( 三 ) 拉莫尔（英国物理学家和数学

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所以：

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现在我们考虑T对广义速度的导数。按照上述推理：

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该量的时间导数为：

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通过对所有N个粒子求和，我们发现：

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上标S的F表示作用在第i个粒子上的牛顿力是广义坐标的函数。现在我来完成这个证明，证明这个和等于广义力F 。
设A、B为构型空间中的两个“位置” ，它们由一条平行于q轴的直线相连。对于两个自由度的情况，这看起来像：

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这个量从A到B的线积分是：

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右边的线积分是第i个粒子q从A到B的位置向量所经过的每条路径C_i上的线积分，根据定义，这是系统A和B之间的势能差的负值：

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中间等式是由微积分基本定理提出的。
因此：

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这让我们完成了证明：

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这意味着，对于真实轨迹的变化，我们有：

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这个积分叫做作用泛函。我们所做的就是证明哈密顿最小作用量原理，即机械系统在构型空间中的运动轨迹是使作用泛函最小的轨迹。
函数L=T-U非常重要，它有自己的名字，被称为拉格朗日方程。我们得到欧拉-拉格朗日方程：

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欧拉-拉格朗日方程给出了每个q的运动方程。对于很多重要的机械系统来说，一旦你有了拉格朗日方程，找到运动方程就很简单了。我们可以说，关于标准系统状态随时间演化的所有信息都包含在拉格朗日量中。
什么时候拉格朗日方法有效？
许多重要的力学问题涉及沿固定表面或路径的运动。例如，如果一个质点在球面上移动，那么它的位置坐标（x,y,z）满足x+y+z-R=0 。可以用f(x,y,z)=0的形式表示的约束称为几何约束。
我们也可以有一个运动约束。正如几何约束限制了粒子的位置一样，运动约束限制了粒子的速度。例如，如果我们说一个粒子的速度完全在x方向上，那么这是一个运动学约束，速度的y和z分量为零。积分之后，这个运动约束变成了一个几何约束，它表示位置的y和z分量是常数。当这是可能的，我们说运动约束是可积的。
拉格朗日方程只适用于只有几何和可积运动学约束的系统。我们称这样的系统为完整系统。一类重要的非完整约束的例子是：例如，如果一个球在桌子上，并被一根长度为l的绳子拴在原点上，那么约束是x+y≤l 。
拉格朗日力学对于保守力总是有效的。有时它可以扩展到非保守力，但这并不总是一个好方法。虽然这听起来像是一个弱点，但事实证明，保守的完整系统是非常庞大的，包含了人们可能会遇到的大多数有趣的问题。
说了这么多，我们来看一些例子看看拉格朗日形式主义的实际应用。
一个钟摆
一个质量m附着在一个长度为l的刚性轻棒的末端，并产生小角度的振荡。

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当运动是二维的时候，运动完全可以用角θ来表示。从笛卡尔坐标开始，然后进行转换通常是个好方法。动能为：

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重力势U=mgy 。因此：

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然后我们用x=lsinθ ， y=lcosθ来求广义坐标θ下的L ，用链式法则计算x导和y导：

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那么θ的拉格朗日运动方程为：

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Sinθ≈θ对于小θ
两个弹簧之间的物体