拉格朗日方程|拉格朗日方程与哈密顿原理，终极的自然原则，宇宙的主要动力( 二 ) 拉莫尔（英国物理学家和数学

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当x坐标为正时，路径的y坐标为负，所以我们可以这样写：

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【拉格朗日方程|拉格朗日方程与哈密顿原理，终极的自然原则，宇宙的主要动力】我们不关心边界上发生了什么
曲线（x,y=f(x)）的微分元素的长度为：

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通过速度v=ds/dt的定义，我们可以将射线的总传播时间表示为积分：

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这个定积分取函数f(x) ，返回一个数字T ，在某种意义上，它是一个取函数的函数而不是作为输入的变量。这样的对象被称为函数。我们可以将费马最短时间原理解释为路径（x,f(x)）具有f(x) ，使得时间函数T[f(x)]具有最小值。
正如我们可以定义函数f(x)对变量x的导数为：

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我们可以定义泛函δJ[f(x)]/δf(x)的泛函导数，得到当f(x)被f(x)+η(x)代替时J的变化率，关系式为：

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函数η称为f(x)的变分， f(x)是一个在积分域边界上消失的任意函数。在本文中，我们将对以下形式的函数感兴趣：

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这里， F是由x,F(x)和F'(x)组成的函数。我们用定义来求J的函数导数。

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第三行是链式法则。第5行是因为f=f(ε=0) ，第6行是对第5部分被积函数的第二项进行分部积分的结果。由于η在a和b处消失，这意味着通过消去积分，我们得到：

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如果J是f(x)以外的多个函数的函数，只要只有f(x)是变化的，这也适用。为什么？让f(x)=（f(x),f(x),…,f(x)），只f有所不同。那么J的形式如下：

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所以只有f在第(3)行的链式法则中存在。
轨道的泛函
令q(t)=(q ， q ， … ， q)为构型空间轨迹的位置向量。为了从函数的角度分析轨迹，我们需要提出一些依赖于整个系统状态的泛函。
势能函数，依赖于整个状态，如果我们假设系统是保守的，那么U就不依赖于广义速度。我们可以用一个简单的函数来表示轨迹上U的平均值：

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泛函U具有适用于上一节结果的正确形式，因此：

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由于U不依赖于速度，最右边的偏导数消失了（我们稍后会用到这个形式），我们可以写成：

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由于我们处理的是保守系统，我们可以自由地定义广义力：

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因此

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泛函T也具有上一节公式的正确形式来应用：

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现在我们有了一个函数导数的一种可行形式，我们可以进入实际的物理。
拉格朗日方程
保守系统可以说是通过动能和势能的交换而随着时间而演化的。这是因为一个保守力作用于系统，将其势能转化为动能，反之亦然。
假设沿着轨迹，平均势能为U ，轨迹变化一次后，平均势能变为U+U 。因此，轨迹的变化产生了一些额外的能量来贡献系统的平均动能。我们可以猜测平均动能的变化量等于平均势能的变化量。现在我们将证明，当任何坐标q变为q+δq时，情况就是这样：

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如果系统由N个粒子组成，则第i个粒子的动能为：

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对点积的导数应用乘积法则，我们得到：

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根据链式法则：