14、变量有唯一确定的值和它对应 ， 这才是构成函数关系的本质例4 数学分析中“函数极限”的反例教学9定义 设在空心领域内有定义若 ， 总 ， 当时 ， 有 成立 ， 则称是在时的极限反例（1）在处虽然无定义 ， 但学生能够亲自体会在处无定义 ， 但极限是存在的反例（2）定义函数尽管在处有定义 ， 但时无极限在处有定义 ， 但在处的极限与在处的函数值无关反例（3）在函数极限定义中将改成 ， 是否有呢？结论是不成立用反例加以说明：令,则 ， 当时 ， 总有成立 ， 但 定义中首先设在的空心领域内有定义并且 ， 这些都隐含着在是否存在极限与在点是否有定义是无关的 ， 但是 ， 学生在理解定义上或在实际应用上 ， 仍误认为若在点处有极限 ， 那么在处一定有定义 ， 这是对函数极限 。

15、定义理解不准确不全面的表现 ， 是一种误解因此 ， 在教学中 ， 可通过以下三个反例向学生认真分析并指出：定义中条件表明 ， 这说明函数在是否存在极限与函数在处是否有定义无关例5 泛函分析中“完备的度量空间”概念的反例教学10定义 设是度量空间 ， 是中点列 ， 如果对任意给定的正数 ， 存在正整数 ， 使当时 ， 必有 ，则称是中的柯西点列或基本点列如果度量空间中每个柯西点列都在中收敛 ， 那么称是完备的度量空间由定义可知 ， 有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备这是一个简单且容易理解的反例3.1.3 关于数学概念反例教学的作用数学反例有助于揭示易错的数学概念的本质数学概念的教学 ， 不仅要运用正面的例子加以深刻阐明 ， 突出条件和关键词 ，。

16、且要通过合适的反例 ， 从另一个侧面抓住概念的本质 ， 使学生对所学概念进一步反思 ， 从而达到深刻理解和掌握该概念的目的3.2 数学性质、定理中的反例教学3.2.1数学的性质、定理教学心理学研究表明 ， 对一个新事物的理解和运用 ， 只有建立成功的经验和失败的教训的相互作用下 ， 才能真正理解和灵活运用在数学中 ， 作为一般的思维形式的判断与推理 ， 以定理、法则、公式的方式表现出来在教学过程中 ， 教师往往过于偏重演释论证的训练 ， 把注意力放在培养学生的逻辑思维能力上 ， 容易导致学生对所给条件理解不透彻 ， 不能抓住它的本质属性 ， 只是机械地记忆定理和公式的结构忽视反例在定理教学中扮演的重要角色 ， 可能导致一下情况出现：一些“自我感觉良 。

17、好”的学生在自学或者做题时 ， 容易忽略甚至无法将数学题中的隐含条件挖掘出来 ， 不能使题设清晰化、具体化、找出正确的解题思路3.2.2数学性质、定理的典型反例教学例6 （辨析题）如图2所示 ， 在正方体中 ， 因为 ， 所以 ， 又是在平面内的射影 ， 故事实上 ， 因为 ， 所以与所成的角为45 ， 并不垂直三垂线定理的内容是在平面内的一条直线 ， 如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直 ， 那么它也和这条斜线 图2 垂直造成上述错误的原因是学生学习三垂线定理及逆定理时 ， 往往忽视“平面内的一条直线”中“内” 的特定条件 ， 忽视了“不在平面内” ， 用这个反例来说明定理中“内”字的重要性 ， 使学生的体会尤为深刻例7 求和：.误解：由题 。

18、可得 ， 数列是首项为 ， 公比为的等比数列由等比数列求和公式可得：（1）首先 ， 学生容易忽略的情况当时 ， 原式结果为0更普遍的是 ， 学生在学习了等比数列前项和公式后 ， 在求等比数列前项和时往往直接应用公式 ，（2）而不考虑公比是否等于1因此 ， 在例7中 ， 多数学生都能熟练地套用公式（2） ， 得到（1）式 ， 但大多数学生都忽略了公式（2）的限制条件是 ， 也就是这种情况也应另类考虑时 ， 不是等比数列；当时 ， 虽是等比数列 ， 但=1 ， 因此求和时也不能套用上面的公式这一反例可以促进学生对等比数列分类条件的重视 ， 使学生知道对待每一个数学问题 ， 必须仔细观察 ， 培养自己敏锐的观察力和丰富的想象力 ， 提高数学思维的严密性例8 高等几何中仿射不 。

19、变量性质的反例教学由共线三点的简比是仿射不变量 ， 可推出线段的中点、三角形的中线和重心均具有仿射不变性 ， 而两直线的垂直、三角形的角平分线均不具有仿射不变性例如图3 ， 在等腰三角形与非等腰三角形之间 ， 一定存在一个仿射使 图3 设为中点 ， 则为的平分线且 ， 若为的中点 ， 即 ， 而不是的平分线且不垂直于例9 有关数学分析中微分中值定理的反例教学在讲授微分中值定理时 ， 学生易将其理解为对一切可微函数均有效 ， 其实它只适应实分析 ， 此时可用如下反例加深学生对微分中值定理的理解设 ， 不难知道处处连续而且可微 ， 但找不到一个区间在与之间存在某一个数 ， 使 ，（3）假定（3）式成立 ， 将上式两边取绝对值的平方可得 故. 由于没有一个正 。

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标题：数学|数学教学中的反例教学研究( 三 )