20、数 ， 使 ， 因而矛盾 ， 故（3）式不能成立 ， 究其原因是的值域含有虚数元不属于定理中的所指实数范围例10 离散数学中哈密顿图判定定理的反例教学11哈密顿图的判定定理（必要条件）设无向图是哈密顿图 ， 则对于任意 ， 且 ， 均有 ，其中为的连通分支数图4 问题：图4是否哈密顿图？正解：取 ， 则 ， 所以该图不是哈密顿图3.2.3 反例有助突出定理、性质的关键词构造反例能帮助学生牢记关键词 ， 达到正确理解并掌握定理、性质的目的在教学中要鼓励学生敢于提出问题 ， 要引导学生在某些定理的条件、结论、某些定义的适用范围等要敢于猜想 ， 对不是现成的定理要着眼于发现和创新 ， 自己提出问题 ， 猜想结果 ， 使反例这一工具得以充分应用 ， 这不仅可以使学 。

21、生的创新能力得以提高 ， 同时更有利于学生开展研究性学习 ， 从而有效地提高教学质量3.3 数学解题过程中的反例教学3.3.1数学题的求解与反例的构造盖尔鲍姆所说：“一个数学问题用一个反例来解决 ， 使人兴奋 ， 给人的刺激犹如一出好的戏剧”中学的数学结论按命题结构可分为以下三类：充分条件类 ， 必要条件类 ， 充要条件类在解题过程中 ， 学生对于前两类结论往往不能准确使用 ， 更严重的是无法发现错误所在此时 ， 应该让学生学会主动地、自主地在反例中讨论、检验 ， 助其发现问题 ， 分析原因 ， 找到正解如此一来 ， 不仅能够修正原有的陈述性知识 ， 而且能够增长其策略性知识从构建主义上说 ， 这就是“自我否定”的过程扎实的数学基础有赖于反例的构造和使 。

22、用 ， 同样 ， 构造反例需要调动我们的数学功底学生能够理解、分析反例固然重要 ， 但学生是更加想知道怎样构造反例构造反例是一件富有创造性和挑战性的事情 ， 但是也有它一定的方法和原则当然 ， 反例的构造是相当灵活的 ， 既需扎实的基本知识、基本技能和基本方法 ， 更需充分地想象3.3.2 构造反例解题的应用举例纵观历年来全国各省中高考数学题、大学考试题 ， 我们可以发现 ， 很多题目我们从正面都是可以得到解答 ， 但是我们更倾向、甚至更自觉地构造反例解题 ， 因为反例能够简化题目同时提高正确率此外 ， 在数学学习过程中 ， 学生有时由于对知识结构掌握不够完善 ， 或缺乏严谨的学习态度 ， 往往会出现在处理题目时想当然 ， 引起做题出错所以 ， 开展反例教学 ，。

23、能帮助学生树立严谨的学习态度 ， 养成论证严密、考虑周到而深刻的学风反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性创作性活动 ， 下面则以考试真题为例 ， 列举具有代表性的构造反例的情况例11 （2002年上海中考题）已知是的角平分线 ， 分别是 ， 的中点 ， 连接、 ， 在不再连接其它线段的前提下 ， 要使四边形为菱形 ， 还需添加一个条件 ， 这个条件可以是 正确答案不唯一 ， 可以是（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6） ， （7）等等 ， 都是正解 ， 且容易证明 ， 不再赘述但是部分学生出现以下答案：（1） ， （2） ， 以下通过列举反例一一判断是否正确第一种情况错误反例如下如图5 ， 在一个圆中任作一条弦（不是直径） ， 过点作圆的一条切线 ，。

24、取的中点 ， 过点作平行于切线交圆于点、 ， 连接、 ， 并延长交切线于点、 ， 再连接、 ，上述四个结论根据显然符合题意 ， 但因为不是直径 ， 所以与不垂直 ， 那么与也不垂直 ， 即当时 ， 四边形不一定为菱形图5第二种情况也是错的 ， 反例如下：作一个直角三角形 ， 使 ， 在上截取连接 ， 再作的平分线交于点 ， 取的中点 ， 作 ， 交、分别于点、 ， 连接、 ，图6设 ， 不妨令 ， 容易得到 ， 根据作图6可知 ，因此. 因为平分 ， 所以 ，而 ， 则 ，于是 ，又因为 ， 所以四边形为平行四边形.但是 ， 当时 ， 因为是斜边上的中线 ， 故 ， 即 另一方面 ， 因为 ， 而点与点不重合 ， 所以与不垂直 ， 也就是四边形不为菱形例12 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平 。

25、面 ， 则这两个二面角的平面角的关系为（ ）A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定本题大部分学生会误选C但构造具体的立体图形作为反例 ， 本题答案显而易见若构造正方体（图7） ， 则易发现二面角与的两个半平面分别垂直 ， 但一个二面角的平面角为 ， 另一个平面角为 ， 通过此反例可知答案为D例13 （1984年全国高中数学联赛试题）以下命题是否正确？若正确 ， 请给予证明 ， 否则举出反例设A ， B是坐标平面上的两个点集 ， 若对于任何 ， 都有 ， 则必有例13是直接列举特殊反例证明其是假命题点是特殊点 ， 因此构造反例： ，容易看出通常情况下 ， 这个命题不是“一切情况下均假” ， 而是在有的情况下真 ， 有的情况下假 ， 经过全面考虑所有可能 ，。

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标题：数学|数学教学中的反例教学研究( 四 )