9、1及x2, 当x1 f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y = x2在区间(-, 0上是单调增加的, 在区间0, +)上是单调减少的, 在（-, +）上不是单调的. (3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD, 则-xD). 如果对于任一xD, 有f(-x) = f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果对于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 则称f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y=x2, y=cos x 都是偶函数. y= 。

10、x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数. (4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一xD有(xl)D, 且 f(x+l) = f(x)则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 3反函数与复合函数反函数: 设函数f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射f -1: f(D)D, 称此映射f -1为函数f的反函数. 按此定义, 对每个yf(D), 有唯一的xD, 使得f(x)=y, 于是有f -1(y)=x. 这就是 。

11、说, 反函数f -1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 一般地, y=f(x), xD的反函数记成y=f -1(x), xf(D). 若f是定义在D上的单调函数, 则f : Df(D)是单射, 于是f的反函数f -1必定存在, 而且容易证明f -1也是f(D)上的单调函数. 相对于反函数y=f -1(x)来说, 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 把函数y=f(x)和它的反函数y=f -1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y=f(x)图形上的点, 则有b=f(a). 按反函数的定义, 有a=f -1(b), 故Q(b, 。

12、 a)是y=f -1(x)图形上的点;
反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y=f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称的. 复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数y=f(u)的定义域为D 1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D) D 1, 则由下式确定的函数 y=fg(x), xD称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成的复合函数通常记为, 即()=fg(x). 与复合映射一样, 。

13、 g与f构成的复合函数的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)D f. 否则, 不能构成复合函数. 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定义域为-1, 1, 在上有定义, 且g(D)-1, 1, 则g与f可构成复合函数, xD;
但函数y=arcsin u和函数u=2+x2不能构成复合函数, 这是因为对任xR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定义域-1, 1内. 多个函数的复合: 4. 函数的运算设函数f(x), g(x)的定义域依次为D 1, D 2, D=D 1D 2, 则我们可以定义这两个函数的下列运算: 和(差)f g : (f 。

14、 g)(x)=f(x)g(x), xD;
积f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD;
商: , xDx|g(x)=0. 例11设函数f(x)的定义域为(-l, l), 证明必存在(-l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)=g(x)+h(x). 分析 如果f(x)=g(x)+h(x), 则f(-x)=g(x)-h(x), 于是, . 证 作, , 则 f(x)=g(x)+h(x), 且 , . 5. 初等函数基本初等函数: 幂函数: y=x m (mR是常数);
指数函数: y=a x(a0且a1);
对数函数: y=loga x (a0且a1, 特别当a=e 。

15、时, 记为y=ln x);
三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x;
反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如, y=sin2x, 等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: ;
双曲余弦: ;
双曲正切: . 双曲函数的性质: sh(x+y)=sh xch ych xsh y;
ch(xy)=ch xch ysh xsh。

16、y. ch2x-sh2x=1;
sh2x=2sh xch x;
ch2x=ch2x+sh2x . 下面证明 sh(x+y)=sh xch y+ch xsh y: . 反双曲函数: 双曲函数y=sh x, y=ch x(x0), y=th x的反函数依次为反双曲正弦: y=arsh x;
反双曲余弦: y=arch x;
反双曲正切: y=arth x . 反双曲函数的表示达式: y=arsh x是x=sh y的反函数, 因此, 从中解出y来便是arsh x . 令u=e y, 则由上式有u 2-2x u-1=0. 这是关于u的一个二次方程, 它的根为. 因为u=e y0, 故上式根号前应取正号 。

17、, 于是. 由于y=ln u, 故得. 函数y=arsh x的定义域为(-, +), 它是奇函数, 在区间(-, +)内为单调增加的. 类似地可得, . 1. 2 数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A1；再作内接正八边形, 它的面积记为A2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正82n-1边形的面积记为An . 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A1, A2, A3, , An, 设想n 无限增大（记为n, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正 。

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标题：同济|同济高数教案( 二 )