1、第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念 ， 掌握函数的表示方法 ， 并会建立简单应用问题中的函数关系式 。
2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性 。
3、 理解复合函数及分段函数的概念 ， 了解反函数及隐函数的概念 。
4、 掌握基本初等函数的性质及其图形 。
5、 理解极限的概念 ， 理解函数左极限与右极限的概念 ， 以及极限存在与左、右极限之间的关系 。
6、 掌握极限的性质及四则运算法则 。
7、 了解极限存在的两个准则 ， 并会利用它们求极限 ， 掌握利用两个重要极限求极限的方法 。
8、 理解无穷小、无穷大的概念 ， 掌握无穷小的比较方法 ， 会用等价无穷小求极限 。
9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ， 会判别函数间断 。

2、点的类型 。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性 ， 了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ， 并会应用这些性质 。
教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质 。
教学难点：1、 分段函数的建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准则的应用；4、 间断点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质的应用 。
1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有 。

3、某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aM. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为A=a1, a2, , an, M=x | x具有性质P . 例如M=(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, .R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表 。

4、示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z= , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 子集: 若xA, 则必有xB, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B)或BA . 如果集合A与集合B互为子集, AB且BA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. 若AB且AB, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作AB, 即AB=x|x 。

5、A或xB. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AB, 即AB=x|xA且xB. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作AB, 即AB=x|xA且xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称IA为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则(1)交换律AB=BA, AB=BA;
(2)结合律 (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC);
(3)分配律 ( 。

【同济|同济高数教案】6、AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC);
(4)对偶律 (AB)C=AC BC, (AB)C=AC BC. (AB)C=AC BC的证明: x(AB)CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以(AB)C=AC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为AB, 即AB=(x, y)|xA且yB. 例如, RR=(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. 。

7、 3. 区间和邻域 有限区间: 设a1时, y=1+x. 例如;
;
f(3)=1+3=4. 2. 函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方. 如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x) K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方. 如果存在正数M, 使对任一xX, 有| f(x) |M, 则 。

8、称函数f(x)在X上有界;
如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y= - M和y = M的之间. 函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1X, 使| f(x) | M. 例如(1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. (2)函数在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 这是因为, 对于任一M1, 总有x1: , 使, 所以函数无上界. 函数在(1, 2)内是有界的. (2)函数的单调性设函数y = f(x)的定义域为D, 区间I D. 如果对于区间I上任意两点x 。

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