18、多边形无限接近于圆, 同时An 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1, A2, A3, , An, 当n 时的极限. 数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn , 则得到一列有次序的数x1, x2, x3, , xn , 这一列有次序的数就叫做数列, 记为xn, 其中第n 项xn 叫做数列的一般项. 数列的例子: , , , , ;
2n: 2, 4, 8, , 2n , ;
: , , , , , ;
(-1)n+1: 1, -1, 1, , (-1)n+1, ;
: 2, , 。

19、 , , , . 它们的一般项依次为 , 2n, , (-1)n+1, . 数列的几何意义:数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , . 数列与函数:数列xn可以看作自变量为正整数n 的函数:xn=f (n), 它的定义域是全体正整数. 数列的极限:数列的极限的通俗定义：对于数列xn, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a, 则称常数a 是数列xn的极限, 或称数列xn收敛a . 记为. 如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 例如, ;
而2n, (-1)n+1, 是发散的. 对无限接近的刻划:xn无限接近于a 。

20、 等价于|xn-a |无限接近于0, 极限的精确定义:定义 如果数列xn与常a 有下列关系:对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n N 时的一切xn, 不等式|xn-a |0, $NN+, 当nN时, 有|xn-a|0, 要使|xn-1|0, $N+, 当nN时, 有|xn-1|=, 所以. 例2. 证明. 分析: |xn-0|.对于e 0, 要使|xn-0|0, $N+, 当nN时, 有|xn-0|=,所以. 例3. 设|q |0, 要使|x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q|e +1就可以了, 故可取N=log|q|e +1 。
证明:。

21、因为对于任意给定的e 0, 存在N= log|q|e +1, 当nN时, 有| qn-1-0|=|q| n-10, 存在充分大的正整数N, 使当nN时, 同时有|xn-a|N 时的一切xn , 不等式|xn-a|N时, |xn|=|(xn -a)+a| | xn-a|+|a|0(或aN时, 有xn0(或xn0的情形证明. 由数列极限的定义, 对, $NN+, 当nN时, 有,从而.推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0), 且数列xn收敛于a, 那么a0(或a0).证明 就xn0情形证明. 设数列xn从N1项起, 即当nN 1时有xn0. 现在用反证法证明, 或a N 2时, 有xnN时 。

22、, 按假定有x n 0, 按定理3有x n0, $NN+, 当nN时, 有|xn-a|K时, nkkK=N. 于是|-a|N时, 有|xn-a|0, $d0, 当00, 可任取d0 , 当00, 要使|f(x)-A|0, $d =e , 当00, 要使|f(x)-A|0, $d=e /2, 当00, 要使|f(x)-A|0, $d=e , 当00, $d 0, x: x0-d0, $d 0, x: x0X时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|0, $X0, 当|x|X时, 有|f(x)-A|0, 要使|f(x)-A|0, $, 当|x|X时, 有, 所以.直线y=0 是函数的 。

23、水平渐近线. 一般地, 如果, 则直线y=c称为函数y=f(x)的图形的水平渐近线. 二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)如果极限存在, 那么这极限唯一. 定理2(函数极限的局部有界性) 如果f(x)A(xx0), 那么存在常数M0和d, 使得当00, 当00(或A0, 使当00(或f(x)0的情形证明. 因为, 所以对于, $d 0, 当00. 定理3 如果f(x)A(xx0)(A0), 那么存在点x0的某一去心邻域, 在该邻域内, 有. 推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0), 而且f(x)A(xx0), 那么A0(或A0). 证明: 设f(x)0. 假设上述论 。

24、断不成立, 即设A0, $d 0, 当00, $NN+, 当nN时, 有|xn-x0|N时, 00 , $ d 0, 使当00 , $ d 0, 使当00 , $ d 0, 使当00 , $ d 0, 使当00, $d 0, 当0M.正无穷大与负无穷大:, .例2 证明. 证 因为M0, $, 当00, 当00,当00, $d 0, 当00, $d 0,当0M, 即, 所以f(x)0(xx0).1. 6 极限运算法则定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 例如, 当x0时, x与sin x都是无穷小, x+sin x也是无穷小.简要证明: 设a及b是当xx0时的两个无穷小, 则e 0, $d10及d20, 使当00. 因为a 是当xx0时的无穷小, 对于0存在着d10, 当00存在着d20, 当0|x-x0|d2时, 不等式|b|成立 。

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标题：同济|同济高数教案( 三 )