12、y,x,x,d,d,d,d,例,10,计算,其中,D,由,4,2,x,y,1,3,x,x,y,所围成,o,y,x,1,2,4,x,y,x,y,3,2,D,1,D,1,x,解,令,1,ln,2,y,y,x,y,x,f,2,1,D,D,D,如图所示,显然,1,上,在,D,y,x,f,y,x,f,2,上,在,D,y,x,f,y,x,f,y,x,y,y,x,I,D,d,d,1,ln,1,2,0,y,x,y,y,x,D,d,d,1,ln,2,2,4,例,11,求两个底圆半径为,R,的直角圆柱面所围的体积,x,y,z,R,R,o,解,设两个直圆柱方程为,2,2,2,R,y,x,利用对称性,考虑第一卦限部分 。

13、,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,2,2,0,d,x,R,y,x,x,R,R,d,8,0,2,2,3,3,16,R,2,2,2,R,z,x,2,2,x,R,z,0,0,2,2,R,x,x,R,y,D,y,x,x,x,R,R,d,8,0,2,2,例,12,求由下列曲面所围成的立体体积,y,x,z,xy,z,1,y,x,0,x,0,y,解,曲面围成的立体如图,所围立体在,xoy,面,上的投影是,体积,D,d,xy,y,x,V,1,0,1,0,x,dy,xy,y,x,dx,1,0,3,1,2,1,1,dx,x,x,x,24,7,1,0,y,x,xy,y,x,二重积分在直角坐标下的计算公式,在积分中要 。

14、正确选择,积分次序,小结,2,1,D,b,a,x,x,dy,y,x,f,dx,d,y,x,f,2,1,D,d,c,y,y,dx,y,x,f,dy,d,y,x,f,Y,型,X,型,思考与练习,1,设,且,求,d,d,1,1,0,y,y,f,x,f,x,I,x,解,交换积分顺序后,x,y,互换,o,y,x,1,x,y,1,y,x,I,x,y,f,x,f,dy,y,d,0,1,0,I,2,y,y,f,x,f,x,x,d,d,1,1,0,1,0,d,x,1,0,d,x,y,y,f,x,f,d,1,0,1,0,1,0,d,d,y,y,f,x,x,f,2,A,2,解,1,0,1,1,2,y,x,D,d,x 。

15、,y,D,其中,计算,1,D,2,D,3,D,先去掉绝对值符号 ， 如图,d,x,y,d,y,x,d,x,y,D,D,D,D,3,2,1,2,2,2,1,2,1,1,0,2,1,1,2,2,x,x,dy,x,y,dx,dy,y,x,dx,15,11,y,x,e,y,x,D,y,x,d,d,1,2,2,o,1,y,x,1,1,D,2,D,x,y,x,y,x,y,将,D,分为,2,1,D,D,y,x,e,y,x,D,y,x,d,d,2,2,2,0,0,d,d,1,1,1,2,x,y,x,x,添加辅助线,利用对称性,得,3,计算二重积分,d,d,2,2,2,y,x,e,y,x,x,I,y,x,D,解,积 。

16、分域如图,其中,D,由直线,围成,证明,证,左端,y,y,f,x,x,f,b,a,b,a,d,d,y,x,y,f,x,f,D,d,d,y,x,y,f,x,f,D,d,d,2,1,2,2,y,y,f,x,x,x,f,y,b,a,b,a,b,a,b,a,d,d,d,d,2,1,2,2,y,d,y,f,x,d,x,f,a,b,b,a,b,a,2,2,2,x,d,x,f,a,b,b,a,2,b,y,a,b,x,a,D,5,1,2,a,b,dx,x,f,dx,x,f,x,f,b,a,b,a,为正的连续函数 ， 则,证明：设,证,左端,y,y,f,x,x,f,b,a,b,a,d,1,d,y,x,y,f,x,f 。

17、,D,d,d,b,y,a,b,x,a,D,y,x,x,f,y,f,y,f,x,f,D,d,d,2,1,y,x,x,f,y,f,y,f,x,f,D,d,d,2,d,d,1,a,b,y,x,D,y,x,x,f,y,f,D,d,d,一,填,空题,1,D,d,y,y,x,x,3,3,2,3,________________,其中,1,0,1,0,y,x,D,2,D,d,y,x,x,cos,_______________,其中,D,是顶,点分别为,0,0,0,的三角形闭区域,3,将二重积分,D,d,y,x,f,其中,D,是由,x,轴及半圆周,0,2,2,2,y,r,y,x,所围成的闭区域,化为先对,y, 。

18、后对,x,的二次积分,应为,_____________________,练,习,题,4,将二重积分,D,d,y,x,f,其中,D,是由直线,2,x,x,y,及双曲线,0,1,x,x,y,所围成的闭区,域,化为先对,x,后对,y,的二次积分,应为,__________________________,5,将二次积分,2,2,2,2,1,x,x,x,dy,y,x,f,dx,改换积分次序,应为,_________________________,6,将二次积分,x,x,dy,y,x,f,dx,sin,2,sin,0,改换积分次序,应为,_________________________,7,将二次积 。

19、分,2,ln,1,2,y,e,dx,y,x,f,dy,2,1,2,1,1,2,y,dx,y,x,f,dy,改换积分次序,应为,__________________________,二、画出积分区域,并计算下列二重积分,1,D,y,x,d,e,其中,D,是由,1,y,x,所确定的闭区域,2,D,d,x,y,x,2,2,其中,D,是由直线,x,y,x,y,y,2,2,及,所围成的闭区域,3,x,D,dy,y,x,x,y,dx,d,y,x,f,0,2,0,2,cos,4,2,D,dxdy,x,y,其中,D,2,0,1,1,y,x,三、设平面薄片所占的闭区域,D,由直线,2,y,x,x,y,和,x,轴 。

【第二节二重积分的计算|第二节二重积分的计算 2】20、所围成,它的面密度,2,2,y,x,y,x,求该,薄片的质量,四,求,由曲面,2,2,2,y,x,z,及,2,2,2,6,y,x,z,所围成的,立体的体积,一,1,1,2,2,3,3,2,2,0,x,r,r,r,dy,y,x,f,dx,4,2,2,1,2,1,1,2,1,y,y,dx,y,x,f,dy,dx,y,x,f,dy,5,2,1,1,2,1,0,y,y,dx,y,x,f,dy,6,y,y,y,dx,y,x,f,dy,dx,y,x,f,dy,arcsin,arcsin,1,0,arcsin,2,0,1,7,2,1,1,2,0,x,e,x,dy,y,x,f,dx,练习题答案,二,1,1,e 。

21、,e,2,6,13,3,4,2,3,5,三,3,4,四,6,A,o,D,rd,sin,cos,D,D,rdrd,r,r,f,d,y,x,f,二、利用极坐标计算二重积分,dr,d,sin,cos,r,y,r,x,rdrd,d,面积元素,sin,cos,2,1,rdr,r,r,f,d,A,D,o,1,r,2,r,D,rdrd,r,r,f,sin,cos,设,D,2,1,r,A,o,D,1,r,2,r,则,若,f,1,则可求得,D,的面积,D,rdrd,2,1,rdr,d,d,2,1,2,1,2,2,A,o,D,r,sin,cos,0,rdr,r,r,f,d,特别,若,D,0,r,D,rdrd,r, 。

22、r,f,sin,cos,则,D,o,A,r,D,0,r,2,0,D,rdrd,r,r,f,sin,cos,sin,cos,0,2,0,rdr,r,r,f,d,进一步,若,则,例,1,写出积分,D,dxdy,y,x,f,的极坐标二次积分形,式 ， 其中积分区域,1,1,2,x,y,x,y,x,D,1,0,x,1,y,x,1,2,2,y,x,解,在极坐标系下,sin,cos,r,y,r,x,所以圆方程为,1,r,直线方程为,cos,sin,1,r,D,dxdy,y,x,f,sin,cos,2,0,1,cos,sin,1,rdr,r,r,f,d,例,2,计算,其中,2,2,2,a,y,x,D,解,在极坐 。

23、标系下,2,0,0,a,r,D,原式,D,r,e,r,a,r,d,0,2,1,2,a,e,2,x,e,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,d,d,r,r,2,0,d,由于,故,坐标计算,注,利,用例,2,可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,2,d,0,2,x,e,x,事实上,当,D,为,R,2,时,利用例,2,的结果,得,故式成立,例,3,计算,dxdy,y,x,D,2,2,其,D,为由圆,y,y,x,2,2,2,y,y,x,4,2,2,及直线,y,x,3,0,0,3,x,y,所围成的平面闭区域,解,3,2,6,1,sin,4,r,sin,2,r,dxdy,y,x 。

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标题：第二节二重积分的计算|第二节二重积分的计算 2( 二 )