1、如果积分区域,D,为,2,1,x,y,x,其中函数,在区间,上连续,1,x,2,x,b,a,第二节,二重积分的计算,一、利用直角坐标计算二重积分,X,型区域,2,x,y,a,b,D,1,x,y,D,b,a,2,x,y,1,x,y,b,x,a,X,型区域的特点,穿过区域且平行于,y,轴的直,线与区域边界相交不多于两个交点,应用计算“平行截,面面积为已知的立,体求体积”的方法,z,y,x,x,A,y,x,f,z,1,x,y,2,x,y,得,a,b,x,根据二重积分的几何意义,当,时,曲顶柱体的体积,为顶的,为底 ， 以曲面,等于以,y,x,f,z,D,d,y,x,f,D,D,y,y,x,f,x,x,d 。

2、,2,1,b,a,x,d,D,y,x,y,x,f,d,d,y,y,x,f,x,A,x,x,d,2,1,b,a,x,x,A,d,2,1,D,d,c,y,y,dx,y,x,f,dy,d,y,x,f,如果积分区域,D,为,2,1,y,x,y,Y,型区域,2,y,x,1,y,x,D,c,d,c,d,2,y,x,1,y,x,D,d,y,c,Y,型区域的特点,穿过区域且平行于,x,轴的直,线与区域边界相交不多于两个交点,当被积函数,y,x,f,2,y,x,f,y,x,f,y,x,f,2,y,x,f,y,x,f,1,y,x,f,2,y,x,f,均非负,在,D,上变号时,因此上面讨论的二次积分法仍然有效,由于 。

3、,o,x,y,说明,(1,若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,D,y,x,y,x,f,d,d,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序,2,x,y,x,o,y,D,b,a,1,y,x,2,y,x,d,c,则有,x,1,x,y,y,y,y,x,f,x,x,d,2,1,b,a,x,d,x,y,x,f,y,y,d,2,1,d,c,y,d,2,若积分域较复杂,可将它分成若干,1,D,2,D,3,D,X,型域或,Y,型域,3,2,1,D,D,D,D,则,例,1,1,0,2,2,2,所围,由,其中,计算二重积分,x,y,x,y,D,d,y,x,I,D,o,x,y,1,2,x,y,2,0,2 。

4、,1,0,2,x,dy,y,x,dx,I,1,0,0,2,2,2,dx,y,y,x,x,1,0,4,2,dx,x,5,2,1,2,1,0,2,y,dx,y,x,dy,I,1,0,1,3,2,3,1,dy,xy,x,y,1,0,2,3,3,7,2,3,1,dy,y,y,5,2,15,14,3,1,1,0,2,5,2,y,y,y,注意两种积分次序的,计算效果,解,1,将,D,看作,X,型区域,则,解,2,将,D,看作,Y,型区域,则,例,2,计算,d,D,y,x,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域,解,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,2,1,2,2,y,y,x,y,D,2,2,1,2,d,d 。

5、,y,y,x,y,x,y,D,y,x,d,2,1,2,2,d,2,1,2,y,y,x,y,y,2,1,5,2,d,2,2,1,y,y,y,y,D,x,y,2,2,x,y,2,1,4,o,y,x,及直线,则,D,例,3,解,围成,由,其中,计算,2,1,2,2,x,x,y,x,y,D,d,y,x,D,X,型,x,x,D,dy,y,x,dx,d,y,x,1,2,2,2,1,2,2,2,1,1,2,dx,y,x,x,x,2,1,3,dx,x,x,4,9,2,1,1,x,x,y,x,D,例,4,sin,所围,由,其中,计算二重积分,x,y,x,y,D,d,y,y,I,D,o,x,y,1,x,y,解,积 。

6、分次序计算,后,按先,x,y,x,x,dy,y,y,dx,I,sin,1,0,x,y,积不出的积分 ， 无法计算,积分次序计算,后,按先,改变积分次序,y,x,y,y,dx,y,y,dy,I,2,sin,1,0,1,0,2,sin,dy,y,y,y,y,1,0,1,0,sin,sin,ydy,y,ydy,1,sin,1,1,sin,1,cos,1,cos,1,1,由以上几例可见 ， 为了使二重积分的计算较为,简便 ， 究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的,特点来确定 ， 同时还要兼顾被积函数的特点 ， 看被,积函数对哪一个变量较容易积分 ， 总之要兼顾积分,区域和被积函数的特点,有些二次积分为了积分方便,还需交换积 。

7、分顺,序,例,5,交换下列积分顺序,2,2,8,0,2,2,2,2,0,2,0,d,d,d,d,x,x,y,y,x,f,x,y,y,x,f,x,I,解,积分域由两部分组成,2,0,0,2,2,1,1,x,x,y,D,8,2,2,y,x,2,D,2,2,y,x,o,2,1,D,2,2,1,x,y,2,2,2,2,8,0,2,2,x,x,y,D,2,1,D,D,D,将,D,视为,Y,型区域,则,2,8,2,y,x,y,2,0,y,D,y,x,y,x,f,I,d,d,2,8,2,d,y,y,x,y,x,f,2,0,d,y,例,6,改变积分,x,x,x,dy,y,x,f,dx,dy,y,x,f,dx, 。

8、2,0,2,1,2,0,1,0,2,的次序,x,y,2,2,2,x,x,y,原式,1,0,2,1,1,2,y,y,dx,y,x,f,dy,解,积分域由两部分组成,1,0,2,0,2,1,x,x,x,y,D,D,1,D,2,2,1,2,0,2,x,x,y,D,2,1,D,D,D,将,视为,Y,型区域,则,1,0,2,1,1,2,y,y,x,y,D,0,2,2,2,0,2,a,dy,y,x,f,dx,I,ax,x,ax,a,更换积分次序,例,7,解,2,2,2,0,2,ax,y,x,ax,a,x,D,3,2,1,三部分,及,分成,将积分区域,D,D,D,D,2,D,1,D,3,D,0,2,2,2, 。

9、2,1,a,y,y,a,a,x,a,y,D,2,2,2,2,2,a,y,a,a,x,a,y,D,0,2,2,2,3,a,y,a,x,y,a,a,D,2,0,2,2,2,2,0,2,2,2,2,2,2,a,y,a,a,a,a,a,y,a,a,y,a,a,a,y,a,dx,y,x,f,dy,dx,y,x,f,dy,dx,y,x,f,dy,I,故,例,8,求,D,y,dxdy,e,x,2,2,其中,D,是以,1,1,0,0,1,0,为顶点的三角形,解,dy,e,y,2,无法用初等函数表示,积分时必须考虑次序,D,y,dxdy,e,x,2,2,y,y,dx,e,x,dy,0,2,1,0,2,dy,y, 。

10、e,y,1,0,3,3,2,2,1,0,2,6,2,dy,y,e,y,2,1,6,1,e,du,ue,u,1,0,6,1,例,9,计算积分,y,x,y,dx,e,dy,I,2,1,2,1,4,1,y,y,x,y,dx,e,dy,1,2,1,解,dx,e,x,y,不能用初等函数表示,先改变积分次序,1,2,1,dx,e,e,x,x,2,1,8,3,e,e,2,x,y,x,y,x,x,x,y,dy,e,dx,I,2,2,1,1,化二重积分为二次积分时选择积分次序的重,要性 ， 有些题目两种积分次序在计算上难易程度差,别不大 ， 有些题目在计算上差别很大 ， 甚至有些题,目对一种次序能积出来 ， 而对另一种次序却积 。

11、不出,来,另外交换二次积分的次序：先由二次积分找,出二重积分的积分区域 ， 画出积分区域 ， 再交换积,分次序 ， 写出另一种次序下的二次积分,以上各例说明,x,y,o,D,性质,设函数,D,位于,x,轴上方的部分为,D,1,1,y,x,f,y,x,f,2,y,x,f,y,x,f,d,D,y,x,f,0,d,D,y,x,f,当区域关于,y,轴对称,函数关于变量,x,有奇偶性时,1,D,在,D,上,d,2,1,D,y,x,f,在闭区域上连续,域,D,关于,x,轴,则,则,仍有类似结果,在第一象限部分,则有,D,y,x,y,x,d,d,1,d,d,4,2,2,D,y,x,y,x,0,对称,D,D,y,x,y, 。

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