1、西南财经大学经济数学系 孙疆明,高等数学 微积分,精,向量及其线性运算,数量积、向量积、混合积,平面,空间曲线及其方程,曲面及其方程,空间解析几何与向量代数,一、向量及其线性运算,向量概念,有大小、有方向的量称为向量.,两向量大小相等、方向相同叫做两向量相等；,两向量方向相同或相反,叫做两向量平行(共线);
,起点放在一起 ， 向量在一个平面内 ， 叫做共面;
,向量的线性运算(加减、数乘),与一向量 大小相等、方向相反的向量叫做原向量的负向量. 记为： .,向量加法性质,向量数乘性质,定理：(向量平行条件),向量的数乘,证完,向量的乘法(积),向量的夹角,1.向量的数量积(点积)投影向量长度乘积,2.向 。

2、量的向量积(叉积),3.向量的混合积,二、空间直角坐标系,按x,y,z轴顺序,坐标系符合右手定则,称为右手系.,任意两坐标轴确定一个平面称坐标面. x,y 轴确定坐标面称xOy面(或xy面);
x,z 轴确定坐标面称xOz面;
y,z 轴确定坐标面称yOz面.,三个坐标面把空间分为八个部分 ， 每个部分叫一个卦限.如图:,在xy坐标平面的上部, 依次称为、卦限.,在xy面下部与第一卦限相对应的称为第卦限;
以后依次称为第、卦限.,空间点坐标的位置特征,向量运算的坐标表示,例,例 已知两点(-1, 0, 2),(3, -2, 4), 求此两点间的距离.,向量的方向角,空间解析几何利用空间坐标系把空间点 。

3、构成的几何图形与代数方程联系起来.,若曲面S上任意一点的坐标,z,y,O,x,关于曲面的两个基本问题:,三.空间曲面与方程,则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程, 而称曲面S为方程F(x,y,z)=0的图形.(如上图),都满足方程F(x,y,z)=0；,而不在曲面S,上的点, 坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程,M(x,y,z),S,定义,2. 巳知曲面的方程, 研究方程的图形,由几何轨迹求曲面方程 ， 常用距离、夹角公式.,例 一动点M( x, y, z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的,故M( x, y, z)的轨迹方程,距离 。

4、相等, 求此动点M的轨迹方程.,(即A、B两点连线的垂直平分,面的方程)为,结论：平面方程均为一次方程,反之亦然.,平面的空间位置：,xOz面的方程为 y = 0,因xOy平面上任意一点的坐标满足z = 0；,而凡满,3. 坐标平面的方程分别为,xOy面的方程为 z = 0;
,yOz面的方程为 x = 0;
,足z = 0的点又都在 xOy平面上；,平行于xOy面的平面方程为 z = c;
,平行于yOz面的平面方程为x=a,平行于xOz面的平面方程为y=b,(c为常数, 表示此平面在 z 轴上的截距),(b为常数, 表示此平面在 y 轴上的截距),(a为常数, 表示此平面在 x 轴上的截距),到 。

5、定点 距离为R的点的轨迹.,特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为,2.球面,3.柱面,巳知曲面的方程, 研究方程的图形,通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;
至于,会得出曲面S的全貌这种方法称为,一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.,一般的三元方程 ， 通常很难立即想出其图形的形状.,但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和z = c去截,曲面S ， 则可得一系列的截口曲线；,再将它们综合起来就,例4 考察下列的图形方程:,(1) 2x- z=0 (2) 2x+y+2z=4,“平行截口”法.,方程不含y, 用平行于xz面的任何平面 y=b 与之相交(联立) ， 得交线,与xO 。

6、z面的交线为 2x- z = 0,是 y=b 平面直线 2x- z=0,故该方程的图形是经过y轴且,的平面.,解 (1)由方程2x- z = 0是一次方程平面.,D = 0,平面过原点.,在xOz面上为直线 2x- z = 0；,此为平面的截距式方程.,它与x、y、z轴的交点分别为(2, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 2).,解 由方程 2x + y + 2z = 4有,(2) 2x + y + 2z = 4,在空间 ， 因方程,z=c 平面上圆心在z轴(原点),半径为R 圆.,解 在xy面上 ， 方程,是原点为心 ， 半径为R的圆.,用任意平行xy平面的平面 z=c 去截曲面 ， 其交线 。

【高等数学教学课件|《高等数学教学课件》09空间解析几何】7、为,不含z ， ,曲面是以 z 轴为心的圆柱面.,一般地, 方程 F(x,y,z)=0 中缺少某 个变量, 则方程表示曲面平行那个作标轴 ， 曲面称为柱面. 柱面名称以坐标面 交线 ( 称为准线)名称命名.,如,解 用平面z=c(c0)去截曲面,其截线为,当c=0时,只有原点(0, 0, 0)满足此方程；c0无图形.,若用平面x=0去截曲面,其截痕为,当c0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,显然c越大 ， 其交线圆越大.,以,为半径的圆.,抛物线.,若用平面y=0去截曲面,其截痕为,抛物线.,方程图形称为旋转抛物面.,曲线L称为此旋转曲面的母线,曲面 是 z=y2绕z轴旋转而成抛物面.,一般 ， 如果有一条平面曲线L(如y=f(x) ， 绕着同一平面内一条,已知直线 (如x轴),旋转一周形成的曲面称为,旋转曲面.,已知直线,旋转曲面的轴.,称为此,y=f(x)绕x轴旋转,曲面方程:,y=f(x)绕y轴旋转,曲面方程:,z=f(y)绕z轴旋转,曲面方程:,称为椭球面(如图),方程,z,b,x,y,O,a,c,方程,z 。

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