使得 ， 由连续函数的零点定理 ， 存在介于之间的使得又 ， 由罗尔定理 ， 与 ， 使得 ， 进而 ， 使得 ， 即综合上述 ， 使得中国石油大学（华东）第二十二届高等数学竞赛试卷专业班级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号一二三四五六七总分得分说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.2. 题目所在页背面为草稿纸.3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2008年6月8日一、填空题（每小题5分 ， 本题共50分）：1. .解题过程是：2. .解题过程是：3.， 则的 。

【历届|历届高等数学竞赛试卷】8、零点个数为： .解题过程是：4. .解题过程是：5.解题过程是：6. .解题过程是：解题过程是：8. .解题过程是：9. .解题过程是：10. 解题过程是：二、计算题（每小题6分 ， 本题共42分）：解题过程是：2. .解题过程是：3. 解题过程是：解题过程是：5. 解题过程是：6.设S是以L为边界的光滑曲面 ， 试求可微函数使曲面积分与曲面S的形状无关.解题过程是：7. 设一球面的方程为 ， 从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线 ， 垂足为点P ， 当点Q在球面上变动时 ， 点P的轨迹形成一封闭曲面S ， 求此封闭曲面S所围成的立体的体积.解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十二届高等数学竞赛 。

9、试卷参考答案一、填空题（每小题5分 ， 本题共50分）：1. .解题过程是：2. .解题过程是：.3.， 则的零点个数为： 1 个 .4. .5.解题过程是：6. .解题过程是：8. .解题过程是：.9. .解题过程是：10. 解题过程是：.二、计算题（每小题6分 ， 本题共42分）：2. . .解题过程是：2. 解题过程是：解题过程是：5. 解题过程是：解： 构造拉格朗日函数： 条件极值驻点为： ， 最远点为 ， 最近点为6.设S是以L为边界的光滑曲面 ， 试求可微函数使曲面积分与曲面S的形状无关.解以L为边界任作两个光滑曲面 ， 它们的法向量指向同一侧 ， 记为与所围成的闭曲面 ， 取外侧 ， 所围立体为 ， 则 ， 由高斯公式得 ，。

10、由的任意性得, 即解线性非齐次方程得.7. 设一球面的方程为 ， 从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线 ， 垂足为点P ， 当点Q在球面上变动时 ， 点P的轨迹形成一封闭曲面S ， 求此封闭曲面S所围成的立体的体积.解设点Q为 ， 则球面的切平面方程为垂线方程为代入及切平面方程得 ， 即（P点轨迹）.化为球坐标方程得.三、证明题（本题8分）：证：由定积分中值定理 ， 可知 至少存在一点又由中国石油大学（华东）第二十三届高等数学竞赛试卷专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号一二三四五六七八总分得分说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.2. 题目所在页背面为草稿纸.3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华 。

11、东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2009年6月7日一、填空题（每小题4分 ， 本题共20分）：1_____2设在处连续 ， 则_______3 4设L为椭圆 ， 其周长记为 ， 则.12a5设的方程是 ， 则二、选择题（每小题4分 ， 本题共20分）：1若连续 ， 且 ， 则（A）2若可导 ， 且在的某邻域内有则（A）3设且可导 ， 则（D）（A）0 （B） （C） （D）4.设为曲线和直线所围成的区域整个边界 ， 沿逆时针方向 ， 则曲线积分( B ).(A) (B) (C) (D)5设函数连续 ， 区域 ， 则（）三、计算下列各题1 。
（本题8分）如图 ， 是两个逐段线性的连续函数 ， 设 ， 求 解：所以 2（本题8分）设为连续函数 ， 且 ，。

12、求解：其中为的原函数， 又所以3（本题8分）设函数是以2为周期的连续函数 ， 它在上的图形为分段直线 ， 是线性函数 ， 求 。
解：令 ， 则4. （本题9分）如图 ， 曲线C的方程为 ， 点(3,2)是它的一个拐点 ， 直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线 ， 其交点为(2,4). 设函数具有三阶连续导数 ， 计算定积分解 题设图形相当于已知在的函数值与导数值 ， 在处的函数值及一阶、二阶导数值.由题设图形知 ， , ;
, 由分部积分 ， 知=5. （本题9分）设函数在点的某邻域内有定义 ， 且在点处可微 ， 又其中， 求解：由于函数在点处可微 ， 故在点处连续 ， 对取极限 ， 得将式子变形为根据微分的定义得 因为函数在点处连续且 ， 有连续函 。

13、数的局部保号性可知令并取对数得所以6. （本题9分）计算其中为正的常数 ， L为从点沿曲线到点的弧（如图）. 解法1 可考虑添加有向线段 ， 从点到点 ， 构成封闭曲线 ， 然后利用格林公式计算. ， .解法2 此题亦可将其分为两部分进行计算. ， 其中 ， 前一积分与路径无关 ， 故可选择沿直线段从到积分， 得.后一积分 ， 可直接化为对参变量的定积分 ， 从到. ， 故 .7（本题9分）证明：由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对轴的转动惯量(密度=1)为.其中是连续的正值函数.证明：曲线弧绕轴旋转一周所形成的旋转曲面为设曲面的柱坐标方程为.=中国石油大学（华东）第二十四届高等数学竞赛试卷专业年级： 学 号： 姓 名： 成。

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标题：历届|历届高等数学竞赛试卷( 二 )