1、第二十届高等数学竞赛试卷专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号一二三四五六七八总分得分说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.2. 题目所在页背面为草稿纸.3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2006年6月4日一、填空题（每小题5分 ， 本题共50分）：1. 若时 ， 与是等价无穷小 ， 则.解题过程是：2. .解题过程是：3. 设函数在处连续 ， 则.解题过程是：4. .解题过程是：5. .解题过程是：解题过程是：7. 解题过程是：8. 解题过程是：9. 解题过程是：10. 设在上半平面内 ， 函数具有连续偏导数 ， 且对任意的都有.对内的任 。

2、意分段光滑的有向简单闭曲线 ， 则.解题过程是：二、计算题（每小题6分 ， 本题共42分）：解题过程是：2. 设是锥面的下侧 ， 计算曲面积分.解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分 ， 本题共50分）：1. 若时 ， 与是等价无穷小 ， 则.解 当时 ， .于是 ， 根据题设有， 故a=-4.2. .解 =,而， 故 原式=3. 设函数在处连续 ， 则.解 由题设知 ， 函数在 处连续 ， 则， 又因为 . 所以 .4. .5. .解：本题积分区域为全平面 ， 但只有当 时 ， 被积函数才不为零 ， 因此实际上只需在 。

3、满足此不等式的区域内积分即可 .7.8.9. 10. 设在上半平面内 ， 函数具有连续偏导数 ， 且对任意的都有.对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 ， 则.解 两边对求导得.令， 则,.即设 ， 则.则由可得.故由曲线积分与路径无关的定理可知 ， 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 ， 都有二、计算题（每小题6分 ， 本题共42分）：2. 设是锥面的下侧 ， 计算曲面积分.解 设： ， 取上侧 ， 则.而 ， .所以.三、证明题（本题8分）：Y解 （I）l2 Co Xl3如图 ， 将C分解为： ， 另作一条曲线围绕原点且与C相接 ， 则.（II） 设 ， 在单连通区域内具有一阶连续偏导数 ， 由（）知 ， 曲线积分在该区域内与路径无关 ， 故当时 ， 总有.比较、两 。

4、式的右端 ， 得由得 ， 将代入得所以 ， 从而中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页号一二三四五六七总分得分说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.2. 题目所在页背面为草稿纸.3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2007年6月10日一、填空题（每小题5分 ， 本题共50分）：1. 若时 ， 与是等价无穷小 ， 则.解题过程是：2. .解题过程是：3. 曲线 ， 渐近线的条数为： .解题过程是：4. .解题过程是：5. 微分方程 .解题过程是：6. .解题过程是：7. 解题过程是：8. 设函数的一个原函 。

5、数是 ， 则= .解题过程是：9. = .解题过程是：10. 设曲线 ， .解题过程是：二、计算题（每小题6分 ， 本题共42分）：解题过程是：2. 设 ， 计算曲面积分解题过程是：解题过程是：解题过程是：解题过程是：6. 设曲面 ， 计算曲面积分.解题过程是：解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分 ， 本题共50分）：1. 若时 ， 与是等价无穷小 ， 则.解题过程是：若时 ， 与是等价无穷小 ，， 则 ， 故.2. .解题过程是：.3. 曲线 ， 渐近线的条数为： 3 .解题过程是：曲线渐近线有3条：垂直渐近线 ， 水平渐近线 ， 斜渐近线.4. .5. 微分方程 .解 。

6、题过程是：6. .解题过程是：7. 解题过程是：解：令 ，是奇函数 ， 得=8. 设函数的一个原函数是 ， 则= .解题过程是：=.9. = 解题过程是：10. 设曲线 ， .解题过程是：.二、计算题（每小题6分 ， 本题共42分）：解题过程是：又故曲线L的方程为：.2. 设 ， 计算曲面积分解题过程是：而故解题过程是：解题过程是：等式两边对t求导得 解题过程是：解：（1）的驻点内的驻点为：.（2）构造拉格朗日函数： 条件极值驻点为：（3）比较最小值为0 。
最大值为8.6. 设曲面 ， 计算曲面积分.解题过程是：解：由曲面的对称性和被积函数对称轮换性 ， = ， =.解题过程是：三、证明题（本题8分）：证：构造辅助函数 则 证 。

7、明思路使得再用两次罗尔定理得到结论.（1）则使得已知 ， 用罗尔定理 ， 与 ， 使得 ， 进而 ， 使得 ， 即（2）则与 ，。

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