14、绩： 页 号一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页 。
2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸 。
3.答案必须写在该题后的横线上 ， 解题过程写在下方空白处 ， 不得写在草稿纸中 ， 否则答案无效 。
中国石油大学（华东）教务处、数学学院主办基础数学系承办2010年6月6日一、填空题（每小题4分 ， 本题共20分）： 本页满分40分本页得分1、。
2、设 ， 则=。
3、设L为沿抛物线y=x2上从点(1 ， 1)到点(2 ， 4)的一段曲线弧 ， 则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分_____ ______ ， 其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数 。
4、设 ， 则=。
5、。
二、选择题（每小题4分 ， 本题共 。

15、20分）：1、( )2、 ( )3、方程的根的个数 ( ) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 34、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是( )(A)(B)(C)0(D)15、设C表示椭圆 ， 其方向为逆时针方向 ， 则曲线积分( )(A) ab(B) 0(C) a+b2(D) ab2本页满分14分本页得分三、计算下列各题（每小题7分 ， 本题共42分）：1、设二阶连续可微 ， 且 ， 试确定 ， 使曲线积分与路径无关 。
2、计算表达式本页满分14分本页得分3、设 ， 计算积分4、设连续 ， 且满足 ， 计算积分本页满分14分本页得分5、 计算二重积分 ， 其中D是由直线及上半圆周所围成的区域.6、 计算 ， 其中L是圆周沿正 。

16、向从点到点的一段圆弧.本页满分12分本页得分四证明题：（每小题6分 ， 本题共18分）：1、设在0 ， 1上连续 ， 且 。
证明在（0 ， 1）内至少存在一点 ， 使得 。
2、设连续 ， 且 ， 证明：在内至少有一个零点 。
本页满分6分本页得分3、 证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对轴的转动惯量(密度=1)为其中是连续的正值函数.中国石油大学（华东）第二十四届高等数学竞赛试题答案一、填空题（每小题4分 ， 本题共20分）：1、。
2.设 ， 则= 0。
3.设L为沿抛物线y=x2上从点(1 ， 1)到点(2 ， 4)的一段曲线弧 ， 则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分___________ ， 其中P(x,y)和Q(x,y) 。

17、是在L上的连续函数 。
4.设 ， 则= 0。
5、 。
二、选择题（每小题4分 ， 本题共20分）：1、( C )2、(A)3、方程的根的个数(B) (A)0 (B) 1 (C)2(D) 34、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是(A)(A)(B)(C)0(D)15、设C表示椭圆 ， 其方向为逆时针方向 ， 则曲线积分 (B)(A) ab(B) 0(C) a+b2(D) ab2三、计算下列各题（每小题7分 ， 本题共42分）：1、设二阶连续可微 ， 且 ， 试确定 ， 使曲线积分与路径无关 。
解 由曲线积分与路径无关的条件得即积分两次得代入条件 ， 得故所求函数为：2、计算表达式解 3、设 ， 计算积分解 4、设连续 ， 且满足 ， 计算 。

18、积分解 在中令 ， 有在中令 ， 则从而5、 计算二重积分 ， 其中D是由直线及上半圆周所围成的区域.解 积分域D如图所示 ， 可表示为 ， 则.6、 计算 ， 其中L是圆周沿正向从点到点的一段圆弧.解， 积分与路径无关 ， 选折线段为积分路径.四证明题：（每小题6分 ， 本题共18分）：1、设在0 ， 1上连续 ， 且 。
证明在（0 ， 1）内至少存在一点 ， 使得 。
证明：设：F（x）=x,x(2分)F（x）在0 ， 1连续 ， （0 ， 1）可导 ， 且F（0）F（1）0由罗尔定理：即：2、设连续 ， 且 ， 证明：在内至少有一个零点 。
证明：由积分中値定理 ， 存在使得因 ， 所以 ， 于是存在使得 ， 同理存在使得 ， 由零点定理存在 ， 使得3、证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对轴的转动惯量(密度=1)为.其中是连续的正值函数.证明：曲线弧y=f(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面为 ， 则其中（用“先二后一法”）（令则） 。

来源：(未知)

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标题：历届|历届高等数学竞赛试卷( 三 )