（共6小题 ， 共80分）15. （本小题满分13分）解：（I）由 ， 可得 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 由正弦定理得 ， （4分）因为 ， 所以0 ， 从而 ， 即 。
（6分）（II）由余弦定理 ， 得 ， 又 ， 所以 ， 于是 ， （11分）当时 ， 取到最大值 。
（13分）16. （本小题满分13分）解：（I）连接AC ， 则ACCD ， 又PA平面ABCD ， PACD ， CD平面PAC ， 又PC平面PAC ， PCD=90 ， （2分）而PAD=90 ， 从而三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E 。
（4分）直径 ， 所以三棱锥P-ACD外接球的体积 。
（6分）（II）建立坐标系 ， 以点A为 。

8、坐标原点 ， 分别为轴正方向 ， 则B（1 ， 0 ， 0） ， C（1 ， 1 ， 0） ， D（0 ， 2 ， 0） ， P（0 ， 0 ， 1） 。
设平面PBC的法向量 ， 则即=（1 ， 0 ， 1）由（I）知CD平面PAC ， 故平面PAC的一个法向量为=（-1 ， 1 ， 0） ， （8分）所以 。
二面角B-PC-A的大小为 ， 其正弦值为 ， （10分）由CD平面PAC ， 得平面PCD平面PAC ， 二面角A-PC-D为直二面角 ， 其正弦值为1 ， （12分）综上 ， 二面角BPCA与二面角APCD的正弦值之比为 。
（13分）17. （本小题满分13分）解：可列举出集合S的非空子集的个数为：个 。
（2分）（I）满足性质的非空子集为： ， 共7个 ， 所以所取出的非空子集满足性质的概率为： 。
（6分） 。

9、（II）的可能值为1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 。
12345P（11分） 。
（13分）18. （本小题满分14分）解：（I）由题设 ， 解得 ， （3分）所以椭圆W： ， 离心率 。
（5分）（II）设直线的方程为 。
联立得 ， 由直线与椭圆W交于A、B两点 ， 可知 ， 解得 ， 设点A ， B的坐标分别为 ， 则 ， （8分）因为F（-2 ， 0） ， 设点A关于轴的对称点为C ， 则C（） ， 所以 ， 又因为 ， 所以B ， F ， C共线 ， 从而C与C重合 ， 连接MC ， 则 ， （12分）则MAC为等边三角形 ， 所以直线的斜率 ， 符合 ， 综上 ， 直线的斜率为 。
（14分）19. （本小题满分13分）解：（I） ， 则 ， 故在上单调递增 ， （3分）而 ， 所以存在唯一的零点 。
（6分）（II）由（I）存在唯一 。

10、的零点显然满足： ， 且当时 ， ；当时 ， 当时 ， 等价于 ， 设 。
则 ， 故与同号 ， 因此当时 ， ；当时 ， 所以在上单调递减 ， 在上单调递增 ， （10分）故 ， 由题意有 ， 又 ， 而 ， 故的最大值是3 。
（13分）20. （本小题满分14分）解：（I）E（1 ， 3 ， 4 ， 2 ， 5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）（II）若数列： ， 的位差和E（ ， ）=4 ， 有如下两种情况：情况一：当 ， 且 ， 其他项（其中）时 ， 有种可能；（5分）情况二：当分别等于 ， 或 ， 或 ， 其他项（其中）时 ， 有种可能；（7分）综上 ， 满足条件的数列：的个数为 。
（8分）例如：时 ， 情况一：形如2 ， 1 ， 4 ， 3 ， 5 ， 共有2+1=3种：2 ， 1 ， 4 ， 3 ， 5 。

11、；2 ， 1 ， 3 ， 5 ， 4；1 ， 3 ， 2 ， 5 ， 4；情况二：形如3 ， 2 ， 1 ， 4 ， 5 ， 共有5-2=3种：3 ， 2 ， 1 ， 4 ， 5；1 ， 4 ， 3 ， 2 ， 5；1 ， 2 ， 5 ， 4 ， 3；形如2 ， 3 ， 1 ， 4 ， 5 ， 共有5-2=3种：2 ， 3 ， 1 ， 4 ， 5；1 ， 3 ， 4 ， 2 ， 5；1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 3；形如3 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 共有5-2=3种：3 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5；1 ， 4 ， 2 ， 3 ， 5；1 ， 2 ， 5 ， 3 ， 4 。
（III）将去绝对值符号后 ， 所得结果为112233的形式 ， 其中恰好有个数前面为减号 ， 这表明 ， （10分）此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1 ， 2个2 ， 2个和1个 。
（11分）上面的讨论表明 ， 题中所求的数列是使得E（）最大的数列 ， 这样的数 。

12、列在时 ， 要求从1 ， 2 ， 中任选一个数作为 ， 将剩余数中较大的个数的排列作为 ， 的对应值 ， 较小的个数的排列作为 ， 的对应值 ， 于是所求数列的个数为 。
综上 ， 满足条件的数列的个数为（14分）例如：时 ， E（） 。
此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1 ， 2个2和1个3 。
若E（）=12 ， 此时时 ， 要求从1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5中任选一个数作为 ， 将剩余数中较大的2个数的排列作为 ， 的对应值 ， 较小的2个数的排列作为的对应值 ， 于是所求数列的个数为 。
4 ， 5 ， 1 ， 2 ， 3；4 ， 5 ， 1 ， 3 ， 2；5 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3；5 ， 4 ， 1 ， 3 ， 2；4 ， 5 ， 2 ， 1 ， 3；4 ， 5 ， 2 ， 3 ， 1；5 ， 4 ， 2 ， 1 ， 3；5 ， 4 ， 2 ， 3 ， 1；4 ， 5 ， 3 ， 1 ，。

13、2；4 ， 5 ， 3 ， 2 ， 1；5 ， 4 ， 3 ， 1 ， 2；5 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1；3 ， 5 ， 4 ， 1 ， 2；3 ， 5 ， 4 ， 2 ， 1；5 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2；5 ， 3 ， 4 ， 2 ， 1；3 ， 4 ， 5 ， 1 ， 2；3 ， 4 ， 5 ， 2 ， 1；4 ， 3 ， 5 ， 1 ， 2；4 ， 3 ， 5 ， 2 ， 1 。

来源：(未知)

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标题：北京市东城区示范校高三上学期综合能力测试理科数学试题及答案( 二 )