1、2019 年 知识建构 第四讲 万有引力定律及其应用 高考调研 1. 天体运动仍是考查热点常考点有： 卫星的变轨、 对接； 天体相距最近或最 远问题；随地、绕地问题；卫星运动过 程中的动力学问题、能量问题 （ 如 2017 年全国卷 24T和全国卷 19T） ， 包括 加速度 （ 向心加速度、 重力加速度 ） 、线 速度、 周期的比较等 解决这些问题的 总体思路是熟悉两个模型：随地、绕 地变轨抓住两种观点分析 ，即动力学 观点、 能量观点 注意匀速圆周运动知 识的应用2. 常用的思想方法： “割补法”求万 有引力大小 天体质量和密度的计算 方法 变轨问题的处理方法 “多 星”问题的处理方法 . 答 。

2、案 (1)(2)(3) 三种宇宙速度(4) 同步卫星的“七个一定”特点 轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面 周期一定：与地球自转周期相同 ， 即T24 h. 角速度一定：与地球自转的角速度相同 ， 即7.3105 rad/s.高度一定：由MmG R h42 mT22(Rh) 得地球同步卫星离地面的高度速率一定：vRGMh3.110 3Rhm/s.向心加速度一定：由MmRh2 ma ， 得 aGMRh22 gh0.23 m/s， 即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致考向一 天体质量与密度的计算 归纳提炼 天体质量及密度的估算方法 熟练强化 1（2017北京卷 。

3、 ） 利用引力常量 G和下列某一组数据 ， 不能计算出地球质量的是（ ）A地球的半径及重力加速度 （ 不考虑地球自转 ）B人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 解析 由于不考虑地球自转 ， 则在地球表面附近 ， 有GMR2m m0g ， 故可得 M gGR ， A项错误；由万有引力提供人造卫星的向心力 ， 有Mm1 v2R2 m1R ， v 2T R ， 联立得3vTM ， B 项错误；由万有引力提供月球绕地球运动的2G向心力 ， 有Mm22Gr 2m2 T2r， 故可得M42r 3GT2 ， C项错误；同理 ， 根据地球绕太阳做圆周运 。

4、动的周期及地球与太阳间的距离 ， 不可求出地球的质量 ， D项正确 答案 DT ， 他用天2（2017河北六校联考 ） 某行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者 ， 行星的自转周期为文望远镜观察被太阳光照射的此卫星 ，发现日落的 2T时间内有 6T的时间看不见此卫星 ，不考虑大气对光的折射 ，则 该行星的密度为 ( )24A. GT2 B3 8 16GT2 C. GT2 D. GT2 解析 设行星质量为 M ， 半径为 R ， 密度为 ， 卫星质量为 m ， 如图所示 ， 发现日落的 2T时间内有 6T的时间看不见同步卫星 ， 则 360 60 ， 故60 ，r 2R ， 根据 G2m2R ， M 4 R ， 6cos2RT 3解得2G4T2 . 。

5、 答案 A1 利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量 ， 估算的是中心天体的质量而非环绕天体的质量.2 区别两个半径 轨道半径与天体半径， 轨道半径与天体半径的关系为rRh ， 只有在天体表面附近的卫星 ， 才有 R? h ， rR. h指卫星到天体表面高度考向二 人造卫星 归纳提炼 1必须掌握的四个关系GM 1ma a 2a 2rrGMm2 r1越高越慢42 mT2 rT r 32必须牢记同步卫星的两个特点(1) 同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期(2) 所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上(2017 全国卷 )2017 年 4 月 ， 我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实 。

6、验 室完成了首次交会对接 ，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道 ( 可视为圆轨道 )运行与天宫二号单独运行 时相比 ， 组合体运行的 ( )A周期变大 B 速率变大C动能变大 D 向心加速度变大GMm v2GM解析 组合体比天宫二号质量大 ， 轨道半径 R不变 ， 根据 R2 mR ， 可得 vR ， 可知与天宫二号单独2R运行时相比 ， 组合体运行的速率不变 ， B项错误；又 T v， 则周期 T不变 ，A项错误；质量变大、速率不变 ， GM动能变大 ，C项正确；向心加速度 a R2 ， 不变 ，D项错误 答案 C求解本题时 ， 若对天体运动规律掌握不熟悉 ， 加之考试紧张 ， 题目情景分析不明 ， 可能会误以为是较复杂的 行星轨道变化问 。

7、题 ， 错把简单问题复杂化 ， 耗时而费力 . 高考复习时 ， 应仔细分析天体运动特点 ， 正确画出情景 图 ， 切忌搞题海战术 ， 分不清情景乱套公式 ， 同时也要关注社会科技新动向 . 熟练强化 1(多选)(2017 河北保定一模 ) O为地球球心 ， 半径为 R的圆为地球赤道 ， 地球自转方向如图所示 ， 自转 周期为 T ， 观察站 A有一观测员在持续观察某卫星 B. 某时刻观测员恰能观察到卫星 B从地平线的东边落下 ，经2T的时间 ， 再次观察到卫星 B从地平线的西边升起已知 BOB， 地球质量为 M ， 引力常量为 G ， 则()A卫星 B 绕地球运动的周期为T2 B卫星 B 绕地球运动的周期为C卫星 B 离地表的高度为D卫星 B 离地 。

8、表的高度为2GMT242GMT2423R3RT 解析 当地球上 A 处的观测员随地球转动半个周期时 ， 卫星转过的角度应为2， 所以 T22 2卫 ， 解得 T卫2T ， A错 ，B对卫星绕地球转动过程中万有引力充当向心力 ， 2 Mm卫2Gr2卫 m卫 T卫卫， 得 r ， 则卫星距地表的高度 h r 卫RG4M 2T 4 2 2R ， C错 ，D对太空电梯”2（多选）（2017 广东华南三校联考 ）石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料 ，它的发现使 的制造成为可能 ，人类将有望通过“太空电梯”进入太空 设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的 轻质电梯 ，电梯顶端可超过地球的同步卫星 A 的高度延伸到太空 。

9、深处 ，这种所谓的太空电梯可用于降低成本发射 绕地人造卫星如图所示 ， 假设某物体 B 乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处 ， 与同高度运行的卫星相比较 （ ）A B的线速度大于 C的线速度B B的线速度小于 C的线速度C若 B突然脱离电梯 ，B 将做离心运动D若 B突然脱离电梯 ，B 将做近心运动 解析 A和 C两卫星相比 ，CA ， 而 BA ， 则 CB ， 又据 v r ， r C r B ， 得 vCvB ， 故 B 项正确 ， MmCMmBA项错误对 C星有 G 2 mC2Cr C ， 又 C B ， 对 B星有 G 2 mB 2Br B ， 若 B突然脱离电梯 ，B将做近心运动 ，D r Cr B项正确 ，C 项错误 答案 。

10、 BD3.（多选） （2017江西七校联考 ）卫星 A、B的运行方向相同 ， 其中 B为近地卫星 ， 某时刻 ， 两卫星相距最近 （O、 B、 A在同一直线上 ）， 已知地球半径为 R ， 卫星 A离地心 O的距离是卫星 B离地心的距离的 4 倍 ， 地球表面重力 加速度为 g ， 则（）TA 4A卫星 A、B的运行周期的比值为ATB 1vA 1B卫星 A、B的运行线速度大小的比值为AvB 2C卫星 A、 B的运行加速度的比值为 aA1D卫星 A、 B至少经过时间 t 167gR ， 两者再次相距最近 解析 本题以卫星的运行考查运行参量的比较 ，求解方法仍是抓住主、 副两条线索由地球对卫星的引力 提供向心力 GMr 2m 。

11、 m4T2 r 知 T2Gr M r3 ， 而 rA4r B ， 所以卫星 A、 B的运行周期的比值为 TT18 ， A项错Mm v2GM 1vA 1 Mm误；同理 ， 由Gr2mr得vr， 所以卫星 A、B的运行线速度大小的比值为 v 2 ， B项正确；由Gr2ma得aGr2Mr12 ， 所以卫星 A、B的运行加速度的比值为 aaBA116 ， C项错误；由 T2Gr M及地球表面引力等于重力大小 G 2 mg知 T2 ， 由于 B为近地卫星 ， 所以 TB2R ， 当卫星 A、 B再次相距最近时 ， 2 216卫星 B比卫星 A多运行了一周 ， 即 t 2 ， 联立可得 t 答案 BDTBTA7天体相遇问题的解法如图 ， 当两运行天体 A、B。

12、的轨道平面在同一平面内时 ， 若运行方向相同 ， 则内侧天体B 比 A 每多运行一圈时相遇t t B A一次 ， 在 t时间内相遇的次数 n B At. 若运行方向相反时 ， 则 A、B每转过的圆心角之和等TB TA2于 2 时发生一次相遇 ， 在 t时间内相遇的次数为： n AtBt t t.2TB TA考向三 卫星的变轨问题 归纳提炼 1变轨原理及过程(1) 为了节省能量 ， 在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道上(2) 在 A 点点火加速 ， 由于速度变大 ， 万有引力不足以提供在轨道上做圆周运动的向心力 ， 卫星做离心运 动进入椭圆轨道 .(3) 在 B点 ( 远地点 ) 再次点火加速进入圆形轨道 .2部分物理量的定 。

13、性分析(1) 速度：设卫星在圆轨道和上运行时的速率分别为v1、 v3 ， 在轨道上过 A 点和 B 点速率分别为 vA、 vB. 在 A 点加速 ， 则 vAv1 ， 在 B 点加速 ， 则 v3vB ， 又因 v1v3 ， 故有 vAv1v3vB.A点 ， 卫星的加速(2) 加速度：因为在 A 点 ， 卫星只受到万有引力作用 ， 故不论从轨道还是轨道上经过 度都相同 ， 同理 ， 经过 B 点加速度也相同(3) 周期：设卫星在、轨道上运行周期分别为T1、T2、T3 ， 轨道半径分别为 r1、r2(半长轴 )、r3 ， 由3r 开普勒第三定律 T2k ， 可知 T1R ， 则探测器在轨道运行时的加速度小于月球表面的重力加速度 ， 故D错误误探测器在 P 点 。

14、由轨道进入轨道需减速 ， 使得万有引力大于向心力 ， 做近心运动 ， 故 答案 A迁移三 较低轨道向较高轨道变轨1 轨道是贴近月球3(多选)“嫦娥五号”的主要任务是月球取样返回“嫦娥五号”要面对取样、上升、对接和高速再入等 四个主要技术难题 ， 要进行多次变轨飞行如图所示是“嫦娥五号”绕月球飞行的三条轨道 ，表面的圆形轨道 ，2 和 3 轨道是变轨后的椭圆轨道 A 点是 2 轨道的近月点 ，B 点是 2 轨道的远月点 ， “嫦娥五 号”在轨道 1 的运行速率为 1.8 km/s， 则下列说法中正确的是 ( )A“嫦娥五号”在B“嫦娥五号”在C“嫦娥五号”在D“嫦娥五号”在2 轨道经过 A 点时的速率一定大于2 轨 。

15、道经过 B 点时的速率一定小于3 轨道所具有的机械能小于在3 轨道所具有的最大速率小于在1.8 km/s1.8 km/s2 轨道所具有的机械能2 轨道所具有的最大速率 解析 “嫦娥五号”在 1 轨道做匀速圆周运动 ， 由万有引Mm v高考高频考点强化宇宙多星模型 考点归纳 1双星模型模型条件：两颗恒星彼此相距较近；两颗恒星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；两颗恒星绕同一 圆心做匀速圆周运动模型特点 向心力等大反向： 两颗恒星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供 ， 故 F1 F2 ， 且方向相反 ， 分别作用在两颗恒星上 ， 是一对作用力和反作用力 周期、角速度相同：两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速 。

16、度相等 半径、线速度与质量成反比：圆心在两颗恒星的连线上 ， 且r 1 r 2L ， 两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比两颗恒星做匀速圆周运动的线速度与恒星的质量成反比1Mm v22AGr 2vB ， 故 v2BvBv1 1.8 km/s， 选项 B 正确；3 轨道的高度大于力定律和牛顿第二定律得 G2m1 ， 由 1轨道 A点变轨到 2轨道“嫦娥五号”做离心运动 ， 则有 rr轨道的高度 ， 故“嫦娥五号”在 3轨道所具有的机械能大于在 2轨道所具有的机械能 ，选项 C错误；“嫦娥五号” 在各个轨道上运动时 ， 只有万有引力做功 ， 机械能守恒 ， 在 A 点时重力势能最小 ， 动能最大 ， 速率最大 ， 故“嫦 娥五号”在。

17、3 轨道所具有的最大速率大于在 2轨道所具有的最大速率 ， 选项 D错误 答案 AB2三星模型(1) 第一种情况： 三颗星位于同一直线上 ，两颗星围绕中央的星 ( 静止不动 )在同一半径为 R的圆轨道上运行 ，周期相同(2) 第二种情况： 三颗星位于等边三角形的三个顶点上 ，并沿等边三角形的外接圆轨道运行 ，三颗星的运行 周期相同 ( 如图所示 ) 3四星模型(1) 第一种情况：四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上 ， 均围绕正方形的两条对角线的交点 做匀速圆周运动 (如图所示 )(2) 第二种情况：行 ， 而第四颗星刚好位于三角形的中心不动 真题归类 1(2013山东卷 ) 双星系统由两颗恒 。

18、星组成 ， 两恒星在相互引力的作用下 ， 分别围绕其连线上的某一点做 周期相同的匀速圆周运动研究发现 ， 双星系统演化过程中 ， 两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某 双星系统中两星做圆周运动的周期为T ， 经过一段时间演化后 ， 两星总质量变为原来的k 倍 ， 两星之间的距离变为原来的 n 倍 ， 则此时圆周运动的周期为 ( )C.nkT D. 解析 设双星的质量分别为 m1、m2 ， 两星做圆周运动的半径分别为 42 m1 2 r 1、r1、r 2 ， 则总质量 Mm1 m2 ， 两者之间 22l 2 r 1r 2 G m1m2GMl .当总质量变为原来的 k 倍 ， 距离变为原来的 n倍时 ， 周期将变为原来的的距离 l r 1 r 。

19、 2.根据万有引力定律及牛顿第二定律得Gml1m2 求两星球做圆周运动的周期；在地月系统中 ， 若忽略其他星球的影响 ， 可以将月球和地球看成上述星球 行的周期记为 T1. 但在近似处理问题时 ， 常常认为月球是绕地心做圆周运动的 ，这样算得的运行周期记为 T2.已知 地球和月球的质量分别为 5.98 10 24 kg 和 7.35 10 22 kg. 求 T2与T1两者二次方之比 (结果保留 3位小数) 解析 (1) 设两个星球 A和 B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r 和 R ， 相互作用的引力大小为 F ， 运行周期为 T. 根据万有引力定律有 FG RMmr 2由匀速圆周运动的规律得Fm2T 2rFM2T 。

20、 2R m1由题意有 LRrT2 r1、Gml1m22m24T2 r 2 ， 将两式相加整理可得 TA 和 B ， 月球绕其轨道中心运联立式得 T2L3Mm .倍 ， 故选项 B正确 答案 B2(2010全国卷 )如图所示 ， 质量分别为 m和M的两个星球 A和 B在引力作用下都绕 O点做匀速圆周运动 ， 星球 A和 B两者中心之间的距离为 L.已知 A、 B的中心和 O三点始终共线 ，A和 B分别在 O的两侧引力常量为 G.(2) 在地月系统中 ， 由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心 ， 月球做圆周运动的周期可由式得出T12L3G Mm 式中 ，M和 m分别是地球与月球的质量 ， L是地心与月心之间的距离若认为月球在地 。

21、球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动 ， 则 GMLm2 m2T22L式中 ，T2 为月球绕地心运动的周期由式得T2T1GMT22由式得21MmM代入题给数据得T2T1221.012. 答案 (1)2 L3G Mm(2)1.0123.(2015安徽卷 )由三颗星体构成的系统 ，忽略其他星体对它们的作用 ，存在着一种运动形式： 三颗星体在相 互之间的万有引力作用下 ，分别位于等边三角形的三个顶点上 ，绕某一共同的圆心 O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动 (图示为 A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况 )若 A星体质量为 2m ，B、 C两星体的 质量均为 m ， 三角形的边长为 a ， 求：(1 。

22、) A星体所受合力大小 FA；(2) B星体所受合力大小 FB；(3) C星体的轨道半径 RC；(4) 三星体做圆周运动的周期 T. 解析(1) 由万有引力定律 ，A星体所受 B、 C星体引力大小为2FBA G 2 G 2 FCA ， 方向如图所示ra合力大小2FA2 3Ga2(2) 同上 ，B星体所受 A、 C星体引力大小分别为2mAmB 2mFAB G 2 G 2ramC mB mFCBGmr2mGam2 ， 方向如图所示由 FBx FABcos60 FCB 2Ga2FBy FABsin6022可得 FB F2Bx(3) 通过分析可知 ， 圆心O在中垂线 AD的中点 ，RC74a( 或：由对称性可知O 。

23、B OC RC ，cos OBD FBDB 2aOB RC(4) 三星体运动周期相同 ， 对 C星体 ， 由 FC FB 2m2 2 7Ga2 m TRC可得 T GaM答案 (1)2 3Gam2 (2) 7Gma2 (3) 47a (4) Gam 解决双星、多星问题 ， 要抓住四点：一抓双星或多星的特点、规律 ， 确定系统的中心以及运动的轨道半径； 二抓星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供； 三抓星体的角速度相等； 四抓星体的轨道半径不是天体间 的距离 . 要利用几何知识 ， 寻找它们之间的关系 ， 正确计算万有引力和向心力 . 迁移训练 1(2017黑龙江大庆模拟 ) 某同学学习了天体运动的知识后 ， 假想宇宙 。

24、中存在着由四颗星组成的孤立星 系如图所示 ， 一颗母星处在正三角形的中心 ， 三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动如 果两颗小星间的万有引力为 F ， 母星与任意一颗小星间的万有引力为9F ， 则 ()A每颗小星受到的万有引力为 ( 39)FB每颗小星受到的万有引力为23 9 FC母星的质量是每颗小星质量的 2 倍D母星的质量是每颗小星质量的 3 3倍解析 每颗小星受到的万有引力的合力为9F2Fcos30 ( 39) F ， A正确 ，B错误由 FGmL2m和 9FmMLG得 ， mM3 ， C、D错误2cos30 答案 A100 年前的预2 (2017 市二模 )2016 年 2月11 日 ， 美国科学家宣 。

25、布探测到引力波 ， 证实了爱因斯坦2019 年2019 年 测 ， 弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图” 双星的运动是产生引力波的来源之一 ，假设宇宙中 有一双星系统由 a、b 两颗星体组成 ， 这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动 ， 测得a星的周期为 T ， a、b两颗星的距离为 l， a、b两颗星的轨道半径之差为 r（ a星的轨道半径大于 b星的轨道半径 ） ，则（）l rA b星的周期为 l rTl rB a星的线速度大小为 l rCa、b 两颗星的半径之比为ll rDa、b 两颗星的质量之比为l rl r 解析 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力 ， 角速度大小相等 ， 则周期 。

26、相等 ， 所以b星的周期为 T ， 故 A错误；根据题意可知 ，r ar bl， r ar b r ， 解得：r a 2， l r2r ar b 2， 则 a 星的线速度大小 va l rTra ， r bl r ， l r ， 故 B正确 ， C错误；双星系统靠相互间的万有引力提供向心力 ， 角速度大小相等 ， 向心力大小相等 ， 则有：2 2ma r b l rma2r amb2r b ， 解得： r ， 故 D错误mb r a l r 答案 B3（多选）（2017 河北六校联考 ）宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统 ， 通常可忽略其他星体对它们 的引力作用 ， 三星质量也相同现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式： 一种是三颗星位 。

27、于同一直 线上 ， 两颗星围绕中央星做圆周运动 ， 如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上 ， 并沿外接于m ， 且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出 ， 引力常量为G ， 则下列说法中正确的是 （)A直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为GmL3B直线三星系统中星体做圆周运动的周期为45Gm等边三角形的圆形轨道运行 ， 如图乙所示设这三个星体的质量均为C三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为D三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为 解析 本题考查三星系统 ， 求解的思路是运行天体的向心力由万有引力的合力提供在直线三星系统中 ， 星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供 ， 根据 。

【2020|2020高考物理二轮复习板块一专题突破复习专题一力与运动第四讲万有引力定律及其应用学案】28、万有引力定律和牛顿第二定律 ， 有m2GL25Gm2 rL， A项错误； 由周期 T v 知直线三星系统中星体做圆周运动的周期为G 2mL2 2mvL2 ， 解得 v12T45LGm ， B 项正确；同理 ， 对三角形三星系统中做圆周运动的星体 ， 有2m2 2GL2cos30 m 2L2cos30 ， 解得 D项正确3Gmm2L3， C 项错误；由 2GL2cos30 ma得 ar 及运转周期 答案 BD4（2017浙江五校联考 ） 我们知道在一个恒星体系中 ， 各个恒星绕着中心的恒星的运转半径3rT之间 ， 一般存在以下关系 ，T2k ， k 的值由中心的恒星质量决定现在 ， 天文学家又发现了相互绕转的三颗恒m ， 间距也相同它们仅在彼此的引力作星 ， 可以将其称为三星系统如图所示 ， 假设三颗恒星质量相同 ， 均为用下围绕着三星系统的中心点O做匀速圆周运动 ， 运动轨迹完全相同它们自身的大小与它们之间的距离相比 ， 自身的大小可以忽略请你通过计算定量说明：三星系统的运转半径的立方与运转周期的平方的比值应为多少 （已知引力常量为 G）对三星系统中的任意一颗恒星有 解析 设三星系统的运动半径为Gm2 2r cos30422cos30 2 mT2 r ， r 33Gm解得 T2122.3Gm 答案 123Gm2 。

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