10、、B 的单价分别为 A m元和 B m元 ， 甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为h乙 ， 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙 (1)求h乙和h乙关于 A m、 B m的表达式；当 3 5 AB mm时 ， 求证：h乙=h乙； (2)设 3 5 AB mm ， 当 A m、 B m分别为多少时 ， 甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的 综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为 0 h ， 试问能否适当选取 A m、 B m的值 ， 使得 0 hh 乙 和 0 hh 乙 同时成立 ， 但等号不同时成立？试说明理由 。
19(本题满分 12 分) 设a为实数 ， 函数 2 ( )2()|f xxxaxa. ( 。

11、1)若(0)1f ， 求a的取值范围； (2)求( )f x的最小值； (3)设函数( )( ),( ,)h xf x xa ， 直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )1h x 的解集. 20. （本题满分 13 分）设椭圆 E: （a,b0）过 M（2 ， ）， N(,1)两点 ，22 22 1 xy ab 26 O 为坐标原点 ，（I）求椭圆 E 的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆 ， 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ？若存在 ， 写出该圆的方程 ， 并求|AB |的取值范围 ， 若不存在说明理由 。
OAOB 21. （本题满分 14 分）已知是公差为的等差数列 ， 是公比为的等比数列. 。

【垫江|垫江二中高中级数学竞赛试题】12、 n ad n bq (1) 若 ， 是否存在 ， 有说明理由； 31 n an * mkN、 1 ? mmk aaa (2) 找出所有数列和 ， 使对一切,并说明理由； n a n b * nN 1n n n a b a (3) 若试确定所有的 ， 使数列中存在某个连续项的和是 11 5,4,3,adbqp n ap 数列中的一项 ， 请证明 。
n b 重庆市垫江二中重庆市垫江二中 10-1110-11 学年高二上学期竞赛试题参考答案学年高二上学期竞赛试题参考答案 一.选择题 1-5 BADDB 6-10 BCACC 二.填空题 11. 12. 13. 14 14. 15. 4 5 32572 2 arctan 。

13、 3 三.解答题 16.设空调和冰箱的月供应量分别为yx,台 ， 月总利润为z百元 则yxz Nyx yx yx 86, , 110105 3002030 * 3 分 作出可行域6 分 84 3z xy ， 纵截距为 8 z， 斜率为 k= 4 3，满足 20 30 10 5 k 欲z最大 ， 必 8 z 最大 ， 此时 ， 直线 84 3z xy必过图形 * , 110105 3002030 Nyx yx yx 的一个交点（4 ， 9）， yx,分别为 4 ， 9 空调和冰箱的月供应量分别为 4、9 台时 ， 月总 利润为最大. 12 分 17.解：设发行站的位置为 ， 零售点到发行站的距离为, x y 222231434 。

14、566zxyxyyyxyxy 这六个点的横纵坐标的平均值为 ， 记 233246 2 6 2143567 62 A（2 ， ） 2 7 画出图形可知 ， 发行站的位置应该在点 A 附近 ， 代入附近的点的坐标进行比较可知 ， 在 （3,3）处 z 取得最小值.即.22 min z z=6x+8y 30 x+20y=300 5 5x x+ +1 10 0y y= =1 11 10 0 y y x x (4,9) o 1 18.解：（1） 当时 ，, 3 5 AB mm 2 3 5 3 5(20)(5) 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 , h乙=h乙 2 3 5 3 20(5)(20)。

15、3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 （2）当时 ，3 5 AB mm 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 ，111 5,20, 20 5 B B m m 得 故当即时 ，11 20 B m 20,12 BA mm 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。
10 5 （3）由（2）知：= 0 h 10 5 由得： ，0 10 = 1255 AB AB mm hh mm 甲 1255 2 AB AB mm mm 令则 ， 即： 。
35 , AB xy mm 1 ,1 4 xy、 5 (14 。

16、 )(1) 2 xy 同理 ， 由得： 0 10 5 hh 乙 5 (1)(14 ) 2 xy 另一方面 ，1 ,1 4 xy、141xx 5 、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 , 2 当且仅当 ， 即 A m= B m时 ， 取等号 。
55 (1 4 )(1),(1)(1 4 ), 22 xyxy 1 4 xy 所以不能否适当选取 A m、 B m的值 ， 使得 0 hh 乙 和 0 hh 乙 同时成立 ， 但等号不同时成立 。
19.解：（1）若 ， 则(0)1f 2 0 | 11 1 a a aa a （2）当时 ， xa 22 ( )32,f xxaxa 2 2 min ( ),02,0 ( ) 2 ( ) 。

17、,0 ,0 3 3 f a aaa f x a a fa a 当时 ， xa 22 ( )2,f xxaxa 2 min 2 (),02,0 ( ) ( ),0 2,0 fa aaa f x f a a aa 综上 2 2 min 2,0 ( ) 2 ,0 3 aa f x a a （3）时 ， 得 ， ( ,)xa( )1h x 22 3210 xaxa 222 412(1)128aaa 当时 ， ； 66 22 aa 或0,( ,)xa 当时 ， 0,得： 66 22 a 22 3232 ()()0 33 aaaa xx xa 讨论得：当时 ， 解集为;
26 (,) 22 a( ,)a 当时 ， 解集为;
62 ( 。

18、,) 22 a 22 3232 ( ,) 33 aaaa a 当时 ， 解集为. 22 , 22 a 2 32 ,) 3 aa 20.解:（1）因为椭圆 E: （a,b0）过 M（2 ， ）， N (,1)两点, 22 22 1 xy ab 26 所以解得所以椭圆 E 的方程为 22 22 42 1 61 1 ab ab 2 2 11 8 11 4 a b 2 2 8 4 a b 22 1 84 xy （2）假设存在圆心在原点的圆 ， 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ,设该圆的切线方程为解方程组得,OAOB ykxm 22 1 84 xy ykxm 22 2()8xkxm 即, 。

19、 222 (12)4280kxkmxm 则=,即 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 222222 222 12121212 222 (28)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使,需使,即,所以,所OAOB 1212 0 x xy y 222 22 288 0 1212 mmk kk 22 3880mk 以又,所以,所以, 2 2 38 0 8 m k 22 840km 2 2 2 38 m m 2。

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标题：垫江|垫江二中高中级数学竞赛试题( 二 )