20、8 3 m 即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半 2 6 3 m 2 6 3 m ykxm 径为,所求的圆为,此时圆 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 22 8 3 xy 的切线都满足或,ykxm 2 6 3 m 2 6 3 m 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为 2 6 3 x 22 1 84 xy 或满足, 2 62 6 (,) 33 2 62 6 (,) 33 OAOB 综上, 存在圆心在原点的圆 ， 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 22 8 3 xy A,B,且.OAOB 因为, 12 2。

21、2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以, 222 222 121212 2222 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8(84) |()(1)()(1) (12) km ABxxyykxxk k , 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当时0k 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因为所以, 2 2 1 448k k 2 2 11 0 1 8 44k k 所以, 2 2 32321 112 1 33 44k k 所 。

22、以当且仅当时取”=”. 4 6 | 2 3 3 AB 2 2 k 当时,.0k 4 6 | 3 AB 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时 2 62 6 (,) 33 2 62 6 (,) 33 , 4 6 | 3 AB 综上, |AB |的取值范围为即: 4 6 | 2 3 3 AB 4 | 6,2 3 3 AB 21.解法一（1）由 ， 得 ，2 分 1mmk aaa 6531mk 整理后 ， 可得 ， . ， 为整数 ，4 2 3 kmmk N 2km 不存在. ， 使等式成立 。
4 分mk N （2）若 ， 即 ，（*） 1n n a b a 1 1 1 1 (1) n and bq and （ 。

23、）若则 。
0,d 1 1 1 n n bqb 当为非零常数列 ， 为恒等于 1 的常数列 ， 满足要求 。
6 分 n a n b （）若 ，（*）式等号左边取极限得 ，（*）式等号右边的极限0d 1 1 lim1 (1) n and and 只有当时 ， 才能等于 1 。
此时等号左边是常数 ， 矛盾 。
1q 0d 综上所述 ， 只有当为非零常数列 ， 为恒等于 1 的常数列 ， 满足要求 。
8 分 n a n b 【解法二】设 1 , n nnn n a andcbb a 若且为等比数列 则 *2 21 21 1 /, nn nnn nn aa qnNa aqa aa 对都成立 ， 即 2 ()(2)()dnc dndcq dn 。

24、dc *22.7 nNaqd对都成立 ， 分 （i）若 d=0 ， 则 * 0,1, nn acbnN （ii）若（常数）即 ， 则 d=0 ， 矛盾0,d 则q=1, n bm dndc m dnc 综上所述 ， 有 ，8 分 n n n nn b a a Nbca 1 *, n, 1, 0使对一切 （3） *,3, 14Nnbna n nn 设.NmNkpbaa k kpmmm ,3a * 21 、，k p pmm 3 2 1)(41) 1(4 . 10 分NspNp p pm k ,3*,k, 3 324 5 、 取 12 分, 03) 14(2) 14(33234 , 23 2222 ssss msk 由二项展开式可得正整数 M1.M2 ， 使得（4-1）2s+2=4M1+1, , 2) 1(8) 14(2 2 ss M ., 21) 1()2(44 21 满足要求存在整数mMMm s 故当且仅当 p=3s,sN 时 ， 命题成立. 14 分 。

稿源：(未知)

【傻大方】网址：/a/2021/0711/0022846079.html

标题：垫江|垫江二中高中级数学竞赛试题( 三 )