1、燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 假设假设: (1)杆的横截面在振动时始终杆的横截面在振动时始终 保持为平面 ， 并作整体运动；保持为平面 ， 并作整体运动； (2)略去杆纵向伸缩引起的横略去杆纵向伸缩引起的横 向变形 。
向变形 。
已知已知: : (1)杆的单位体积的质量为杆的单位体积的质量为 (x) ， 截面积为 ， 截面积为A(x) ， 杆长为杆长为 L ， 弹性模量为弹性模量为E； (2)杆受分布力杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动 。
作用作纵向振动 。
3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 坐标：坐标：以以u(x,t)表示杆 。

2、表示杆x截面在时刻截面在时刻t的位移 ， 即位移是截的位移 ， 即位移是截 面位置面位置x和时间和时间t的二元函数 。
的二元函数 。
燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 在杆上在杆上取微段取微段dx 。
微元受力如图 。
微元受力如图 所示 。
微元纵向应变为所示 。
微元纵向应变为 d d x u x ux x u u x截面上的内力为截面上的内力为N； x+dx截面上的内力为截面上的内力为 d N Nx x x u ExAExAxAtxN ,内力内力N是是x, t的函数的函数 根据牛顿根据牛顿 运动定律得运动定律得 2 2 d 。

3、 ,dd,dd u x A xx t NN f x txNxNf x txx xx 杆纵向振动的杆纵向振动的 偏微分方程为偏微分方程为 txf x u xEA xt u xAx, 2 2 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 若 杆 的 单 位 体 积 质 量若 杆 的 单 位 体 积 质 量 ( x ) = = 常 数，截 面 积常 数，截 面 积 A(x)=A=常数 ， 常数 ， 杆纵向振动杆纵向振动 的偏微分方程简化为的偏微分方程简化为 如果如果f(x,t)=0 ， 则杆纵向自由振动的偏微分方程为 ， 则杆 。

4、纵向自由振动的偏微分方程为 22 2 22 uu a tx a为弹性波沿为弹性波沿x轴的传播速度 。
轴的传播速度 。
aE txf x u xEA xt u xAx, 2 2 txf Ax u E t u , 1 2 2 2 2 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 类似于弦的横向振动 ， 仍然采用分离变量法求解杆类似于弦的横向振动 ， 仍然采用分离变量法求解杆 纵向振动的偏微分方程 。
设纵向振动的偏微分方程 。
设u(x ， t)表示为表示为 tFxUtxu, 22 2 22 uu a tx 0 d d 2 2 2 tF t。

5、tF 2 2 2 d 00 d U x U xxL x a 杆纵向自由振动的偏杆纵向自由振动的偏 微分方程可以分解为微分方程可以分解为 两个常微分方程两个常微分方程 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 式中：式中： C, D为待定常为待定常 数 ， 由两个端点的边数 ， 由两个端点的边 界条件决定 。
界条件决定 。
两个常微分方程的解两个常微分方程的解 0 d d 2 2 2 tF t tF 2 2 2 d 00 d U x U xx L x a tBtAtFcossin x a Dx a CxU cossin 式 。

6、中：式中： A, B为为待定常待定常 数 ， 由两个初始条件数 ， 由两个初始条件 决定 。
决定 。
燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 固有频率为固有频率为 1,2, r E L r L ar r 振型函数为振型函数为 sin 1,2, r r Uxxr L 边界条件对固有频率、振型的影响边界条件对固有频率、振型的影响 (1)两端固定两端固定 固定端的变形必须为零 ， 所以固定端的边界条件为固定端的变形必须为零 ， 所以固定端的边界条件为 00LUU x a Dx a CxU cossin 将边界条件代将边界条件代 入振 。

7、型函数入振型函数 00U 0D sin0CL a 0U L D=0 C=1 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University C=0 D=1 固有频率为固有频率为 1,2, r E L r L ar r 振型函数为振型函数为 cos 1,2, r r Uxxr L (2)两端自由两端自由 0C 自由端的应力为零 ， 即应变为零 ， 自由端的边界条件为自由端的应力为零 ， 即应变为零 ， 自由端的边界条件为 0 d d d d 0 Lxx x xU x xU 0 d 0 d x Ux x d 0 d xL Ux x =0=0 ， 杆作刚杆 。

8、作刚 体纵向平动体纵向平动 0 sin0L a sin0DL aa sincos cossin U xCxDx aa dU x CxDx dxaaaa 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University D=0 C=1 (3)一端固定一端自由的杆一端固定一端自由的杆 边界条件为边界条件为 00 d 0 d xL U Ux x 由此得由此得 0D0cosL aa C 频率方程为频率方程为 0cosL a 固有频率为固有频率为 2121 1,2, 22 r rarE r LL 振型函数为振型函数为 sinco s 21 s 。

9、in 1 ,2 , 2 rr r UxCxDx aa r xr L sincos cossin U xCxDx aa dU x CxDx dxaaaa 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 对于上述三种边界条件：对于上述三种边界条件：两端固定的杆；两端固定的杆； 两端自由的杆；两端自由的杆； 一端固定、一端自由的杆 。
一端固定、一端自由的杆 。
前三阶振型图为：前三阶振型图为： 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 解： 。

10、上端固定的边界条件为解：上端固定的边界条件为 00 0, 0Utu或 下端具有附加质量下端具有附加质量M ， 在振动时产生对杆端的惯性 ， 在振动时产生对杆端的惯性 力 。
取质块为研究对象 ， 杆对质块的作用力方向向上 ， 力 。
取质块为研究对象 ， 杆对质块的作用力方向向上 ，下端点的边界条件为下端点的边界条件为 2 2 , t tLu M x tLu EA 例例-1 求如图所示的上端固定、下端有一附求如图所示的上端固定、下端有一附 加质量加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和的等直杆作纵向振动的固有频率和 振型函数 。
振型函数 。
实例实例 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engine 。

11、ering, Yanshan University 考虑到考虑到 tF x LU x tLu d d, 故下端边界条件为故下端边界条件为 LMU x LU EA 2 d d 由顶端边界条件由顶端边界条件 U(0)=0 tFLU t tF LU t tLu 2 2 2 2 2 d d, sincosF tAt Bt x a Dx a CxU cossin 0D 由下端边界条件由下端边界条件 x aa Dx aa C x xU sincos d d L a ML aa EA sincos 2 固有频率方程固有频率方程 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineer 。

12、ing, Yanshan University 因因a2=E/。
整理后得 。
整理后得 a L a L M AL tg 上式为特征方程 ， 即固有频率方程 。
方程左边为杆的质上式为特征方程 ， 即固有频率方程 。
方程左边为杆的质 量与附加质量的比值 。
当给定比值后 ， 通过数值法可以量与附加质量的比值 。
当给定比值后 ， 通过数值法可以 求得各个固有频率求得各个固有频率 r的数值解 ， 也可以用作图求出 。
的数值解 ， 也可以用作图求出 。
L aa L Ma EAL tg 2 L a ML aa EA sincos 2 固有频率方程变化为固有频率方程变化为 1 tg EA L Maa 燕山大学机械工程学院 School of M 。

13、echanical Engineering, Yanshan University 设质量比设质量比 AL/M=1 ，= L/a ， 则特征方程简化为 ， 则特征方程简化为 1 tg 86. 0 1 43. 3 2 86.0 1 1 E LL a E LL a43.3 2 2 作出作出tg 和和1/ 两个图形 ， 两个图形 ，如图所示 。
两个图形的如图所示 。
两个图形的 交点交点 1和和 2, ， 便是各阶 ， 便是各阶 固有频率 。
固有频率 。
M=0 ， 即一端固定、一端自由的杆 ， 即一端固定、一端自由的杆1 2 E L a L a L M AL tg 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Eng 。

14、ineering, Yanshan University 与一端固定一端自由的等直杆比较 ， 杆下端的附加质与一端固定一端自由的等直杆比较 ， 杆下端的附加质 量增加了系统质量 ， 从而使固有频率明显地降低 。
量增加了系统质量 ， 从而使固有频率明显地降低 。
如果杆的质量相对附加质量很小 ， 如果杆的质量相对附加质量很小 ，AL/M1 ，1亦亦 为小值 ， 可近似地取为小值 ， 可近似地取tg 1 1 ， 因此特征方程可以简化为 ， 因此特征方程可以简化为 由此计算得基频由此计算得基频 M k LM EA M AL L a 1 式中式中k=EA/L为杆本身的抗拉刚度 ， 为杆本身的抗拉刚度 ， M为附加质量 。
为附加质量 。
2 111 tg 。

15、 ALLL tg Maa M AL 2 1 因因 = L/aaE 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 这一结果与单自由度系统的结果相同 ， 这一结果与单自由度系统的结果相同 ，说明在计算基频时 ， 如果杆本身质量比悬说明在计算基频时 ， 如果杆本身质量比悬 挂的质量小得多时 ， 可以略去杆的质量 。
挂的质量小得多时 ， 可以略去杆的质量 。
若进一步取进一步取 3 111 3tg M AL 3 3 1 11 331 1 ALM AL MAL MAL 将第一次的近似将第一次的近似 = AL/M代入上式 ， 可得代入上式 ， 可得 2 1 。

16、 例如 ， 当例如 ， 当 AL/M=1/10时 ， 误差仅为时 ， 误差仅为1.25 。
1 k M 31 2 1 1 MAL 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 所以基频所以基频 1为为 3/3/ / 3/ 1 ALM k ALM LEA ALM AL L a 上式就是将杆质量的三分之一加到质量上式就是将杆质量的三分之一加到质量M上所得的单自由度系上所得的单自由度系 统的固有频率计算公式 。
统的固有频率计算公式 。
和瑞利法所得的结果相一致 。
和瑞利法所得的结果相一致 。
例如 ， 附加质量例如 ， 附加质量M等于杆的质量时 ， 有等于 。

17、杆的质量时 ， 有 E L 866. 0 1 因此 ， 只要杆的质量不大于附加质量 ， 由简化公式计算的基频能因此 ， 只要杆的质量不大于附加质量 ， 由简化公式计算的基频能 够满足工程实际应用的要求 。
够满足工程实际应用的要求 。
精确解时 ， 系数为精确解时 ， 系数为 0.860.86 ， 误差仅为 ， 误差仅为0.70.7 。
燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 例例2 求如图所示的一端固定一端弹性支承的杆作纵向振求如图所示的一端固定一端弹性支承的杆作纵向振 动的固有频率和振型函数 。
动的固有频率和振型函数 。
解：左端为固定端 ， 边界条件为 。

18、解：左端为固定端 ， 边界条件为 00 00U,tu或 右端联结一刚度为右端联结一刚度为k的弹簧 。
弹簧力与杆轴向内力的弹簧 。
弹簧力与杆轴向内力 大小相等 ， 方向相反 ， 即大小相等 ， 方向相反 ， 即 )( d d ),( , LkU x xU EAtLku x txu EA LxLx 或 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University L a kL aa EA sincos 由此得由此得 令令=- -EA/kL ， 则 ， 则 由上式可求得各个固有频率由上式可求得各个固有频率 r的数值解 。
的数值解 。
x a xU r r sin ,2, 。

19、 1r 由左端边界条件由左端边界条件U(0)=0 x a Dx a CxU cossin 0D d ( ) d x L U x EAkU L x 由右端边界条件由右端边界条件 与各个与各个 r相应的振型函数为相应的振型函数为 kL EA aL aL tan tanL a L a 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 例例3 如图所示的一端固定一端自由的均质杆 。
设在自由如图所示的一端固定一端自由的均质杆 。
设在自由 端作用轴向力端作用轴向力F ， 在 ， 在t=0时释放 。
求杆运动规律时释放 。
求杆运动规律u(x,t) 。
。

20、 解：一端固定一端自由杆的固解：一端固定一端自由杆的固 有频率和振型函数为有频率和振型函数为 , 2 , 1r x L r xU E L r rr 2 12 sin 2 12 1 21(21)(21) ( , )sinsincos 222 rr r rrara u x txAtBt LLL 因因 11 ( , )( ) ( )( )( )( )sinsin rrrrrrr rr u x tU x F tU x F tU xAtBt 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 常数常数Ar和和Br决定于初始条件决 。

21、定于初始条件 EA Fx xu0 , 0 ,0 t xu 第一个条件给出了第一个条件给出了t=0时是均匀初始应变；因在时是均匀初始应变；因在t=0时释放此力 ， 时释放此力 ，所以第二个条件表示初始速度为零 。
所以第二个条件表示初始速度为零 。
0 r A故杆的位移故杆的位移u(x,t)可以表示为可以表示为 1 2 12 cos 2 12 sin, r r t L ar Bx L r txu t L ar L ar Bt L ar L ar Ax L r t tF xU t t , xu rr r 2 12 sin 2 12 2 12 cos 2 12 2 12 sin d d 1 故由第二个初始条件 。

22、得故由第二个初始条件得 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 由第一个初始条件得由第一个初始条件得 x L r B EA Fx r r 2 12 sin 1 用用 乘以上式的两边 。
考虑到三角函数的正乘以上式的两边 。
考虑到三角函数的正 交性 ， 在交性 ， 在0 x L上积分 ， 可得的上积分 ， 可得的Br的值 ， 有的值 ， 有 x L r 2 12 sin xx L r EA Fx xx L r B LL r d 2 ) 12( sind 2 ) 12( sin 00 2 由上述方程可得由上述方程可得 ,r EAr FL B 。

23、 r r 321 1 12 8 1 2 2 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 所以杆的纵向运动为所以杆的纵向运动为 1 2 1 2 2 12 cos 2 12 sin 12 18 , r r t L ar x L r rEA FL txu 在自由端在自由端x=L处振幅最大 ， 即处振幅最大 ， 即 2 ) 12( sin ) 12( ) 1(8 1 2 1 2 max r rEA FL u r r EA FL EA FL EA FL 8 8 ) 25 1 9 1 1 ( 8 2 22 这正是杆在静拉力这正是杆 。

24、在静拉力F作用下自由端的位移 。
作用下自由端的位移 。
燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 22 2 22 uu a tx 运动微分方程的解运动微分方程的解 上节课内容回顾上节课内容回顾杆纵向振动杆纵向振动 txf x u xEA xt u xAx, 2 2 22 2 22 1 , uu afx t txA 杆纵向振动的偏微分方程为杆纵向振动的偏微分方程为 均质等截面杆纵向振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向振动的偏微分方程为 均质等截面杆纵向自由振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向自由振动的偏微分方程为 tF 。

25、xUtxu, sincossinF tAtBtEt x a Dx a CxU cossin 11 ( , )( )( )( )sinsin rrrrrrr rr u x tU x F tU xAtBt 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 例例4 求图示组合杆柱纵向振动的固有频率求图示组合杆柱纵向振动的固有频率 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 解：第解：第1种情况种情况 边界条件：顶端弹性约束；底端自由边界条件 。

26、：顶端弹性约束；底端自由 0 (0, ) 0 xe xL u EAK ut x u EA x 用振型函数表示为用振型函数表示为 0 (0) 0 xe xL dU EAK U dx dU EA dx sincos =cossin U xCxDx aa dU x CxDx dxaaaa 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 0 (0) 0 xe xL dU EAK U dx dU EA dx sincos =cossin U xCxDx aa dU x CxDx dxaaaa e K tgL aaEA 由边界 。

27、条件由边界条件1 e EACK D a 由边界条件由边界条件2cossin0CLDL aaaa tan C L aD e KCa DEA 固有频率方程固有频率方程 e LK LtgL aaEA 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 解：第解：第2种情况种情况 分析：分析： 如何选择坐标系？如何选择坐标系？ 如何建立运动微分方程？如何建立运动微分方程？ 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 边界条件：顶端弹性约束；底端 。

28、自由边界条件：顶端弹性约束；底端自由 连续性条件：两杆连接处位移相同、内力相同连续性条件：两杆连接处位移相同、内力相同 坐标系：每级杆柱独立坐标系 。
坐标系：每级杆柱独立坐标系 。
22 2 11 111 22 1 22 2 22 222 22 2 0 0 uu axL tx uu axL tx 运动微分方程：运动微分方程： 1 22 112 1 1101 1 2 22 2 112 12 11220 12 (0 , ) 0 0 xe xL xLx u E AKut x u EA x uLtut uu E AEA xx （ ，）（，） 燕山大学机械工程学院 School of Mechanica 。

29、l Engineering, Yanshan University 振型函数表示的边界条件与连续性条件振型函数表示的边界条件与连续性条件 1 22 112 1 1101 1 2 22 2 112 12 11220 12 (0) 0 0 xe xL xLx dU E AK U dx dU E A dx ULU dUdU E AE A dxdx （）（ ） 111111 11 11 1111 11111 sincos =cossin UxCxDx aa dUx CxDx dxaaaa 222222 22 22 2222 22222 sincos =cossin UxCxDx aa dUx CxDx 。

30、 dxaaaa 1111 1 2222 2222 11112 11 111111222 11112 cossin0 sincos cossin e E A CK D a CLDL aaaa CLDLD aa E ACLDLE A C aaaaa 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 固有频率方程固有频率方程 11211 1212 12221112 11112 1 22111 ()()()() () e e E AaE A tgL tgLtgL tgL aaE A aKaaa E A E A a tgL E 。

31、 AKa aa 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 解：第解：第3种情况种情况 边界条件与边界条件与 连续性条件：连续性条件： 坐标系：每级杆坐标系：每级杆 柱独立坐标系 。
柱独立坐标系 。
22 2 11 111 22 1 22 2 22 222 22 2 22 2 33 333 22 3 0 0 0 uu axL tx uu axL tx uu axL tx 运动微分方程：运动微分方程： 1 33 112 223 1 1101 1 3 33 3 112 12 11220 12 223 32 22330。

32、23 (0 , ) 0 0 0 xe xL xLx xLx u E AKut x u EA x uLtut uu E AEA xx uLtut uu EAEA xx （ ，）（，） （ ，）（，） 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 固有频率方程固有频率方程 22 1213 23312313 211 23 132223 111111 1 33133111 2211 2 33212 11 3 313 211 13221 11 () ()() () 1 () () 11 () 1 () 1 () 1 。

33、 e e e E A tgL tgLtgL tgL a E Aaaaaa aE A tgL tgL a a E Aaa E AE AE A tgL E A aE A a Kaa E AE A p tgL E A aKaa E A tgL cKaa aE A tg a a E A a 123 123 () () ()L tgL tgL aaa 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 圆轴扭转振动示意图 。
圆轴扭转振动示意图 。
6.3 6.3 轴的扭转振动轴的扭转振动 已知：已知： (x)为为轴单位体积的质量；轴 。

34、单位体积的质量； I(x)为轴单位长度的转动惯量；为轴单位长度的转动惯量； J (x)为轴横为轴横截面的极惯性矩截面的极惯性矩； f(x ， t)为作用于轴上为作用于轴上的分布扭矩 。
的分布扭矩 。
L为轴长为轴长；G为为剪切弹性模量 。
剪切弹性模量 。
以以 (x ， t)表示表示x截面的角位移 。
截面的角位移 。
微元受力图微元受力图 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University x x xGJ xx xGJx x M M t t d)()(d x xGJM t 假设：假设： (1)理想弹性体；理想弹性体； (2)轴的横截面在扭 。

35、转振动中仍保持轴的横截面在扭转振动中仍保持 为平面作整体运动 ， 即忽略扭转振为平面作整体运动 ， 即忽略扭转振 动时截面的翘曲 。
动时截面的翘曲 。
取微段取微段dx ， 由材料力学知 ， 轴的扭转应变为 ， 由材料力学知 ， 轴的扭转应变为，作用于微段作用于微段dx两侧截面上的扭矩分别为两侧截面上的扭矩分别为x 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 微段运动微分方程为微段运动微分方程为 t t t Mx x M Mxtxf t xxI dd,d 2 2 整理得整理得 txf x xGJ xt xI, 2 2 上式为圆轴扭转振 。

36、动的偏微分方程 。
上式为圆轴扭转振动的偏微分方程 。
若单位长度的转动惯量若单位长度的转动惯量I(x)=I=常数 ， 单位体积的质量常数 ， 单位体积的质量 (x)= =常数 ， 截面极惯性矩常数 ， 截面极惯性矩J (x)= J =常数 ， 且有常数 ， 且有I= J。
则则轴扭转振动的偏微分方程轴扭转振动的偏微分方程为为 txf x GJ t I, 2 2 2 2 x xGJMt 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 弦的横向振动、杆的纵向振动以及轴的扭转振动具有弦的横向振动、杆的纵向振动以及轴的扭转振动具有 相同形式的偏微分 。

37、方程 。
相同形式的偏微分方程 。
当当f(x ， t)=0 ， 圆 ， 圆轴扭转自由振动偏微分方程为轴扭转自由振动偏微分方程为 2 2 2 2 x GJ t I 2 2 2 2 2 x a t 或或 式中式中Ga a表示剪切弹性表示剪切弹性 波沿波沿x轴的传播轴的传播 速度 。
速度 。
燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 同样 ， 式中有同样 ， 式中有四个待定常数四个待定常数 。
系数系数C, , D决定于边界条件；决定于边界条件； 系数系数A ， B取决于初始条件 。
取决于初始条件 。
,sincos( sincos)x tx F tC 。

38、xDxAtBt aa 扭转振动偏微分方程的解为扭转振动偏微分方程的解为 求轴扭转振动的固有频率和振型函数的方法与上两节求轴扭转振动的固有频率和振型函数的方法与上两节 完全相同 ， 需要利用边界条件解出固有频率完全相同 ， 需要利用边界条件解出固有频率， 并确定 ， 并确定 振型函数；其边界条件与杆的纵向振动相似 。
振型函数；其边界条件与杆的纵向振动相似 。
燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 固定端固定端 (0,t)=0 (L,t)=0 自由端自由端 0 , 0 x x tx 0 , Lx x tx 惯性载荷惯性载荷。

39、0 0 2 2 , x x x tx GJ t tx I Lx Lx x tx GJ t tx I , 2 2 弹性载荷弹性载荷 0 , , 0 x t x tx GJtk Lx t x tx GJtLk , , 其中其中kt为扭为扭 转 弹 簧 刚转 弹 簧 刚 度 。
度 。
轴扭转振动的边界条件轴扭转振动的边界条件 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 因为系统是线性的 ， 故系统的全解是由无限阶固有振因为系统是线性的 ， 故系统的全解是由无限阶固有振 型叠加而成 ， 即型叠加而成 ， 即 )cossin(cossin) 。

40、,( 1 tBtAx a Dx a Ctx rrrr r r r r r 则有则有 1 1 sincos sincos rr rrr r rr rrrr r fxCxDxB aa g xCxDxA aa 设给定初始条件为设给定初始条件为 xfx0 , xgx,0 解上述立方程即可确定积分常数解上述立方程即可确定积分常数Ar和和Br 。
振型函数由边界振型函数由边界 条件确定 。
条件确定 。
结合系统的固有频率结合系统的固有频率 r和振型函数和振型函数 r(x) ， 便求得系 ， 便求得系 统的位移响应 。
统的位移响应 。
将将Ar和和Br 带回通解带回通解 方程 。
方程 。
燕山大学机械工程学院 School of 。

41、 Mechanical Engineering, Yanshan University 例例1 设轴一端固定 ， 另一端附有圆盘 ， 如图所示 ， 圆盘设轴一端固定 ， 另一端附有圆盘 ， 如图所示 ， 圆盘 转动惯量为转动惯量为I ， 求扭转振动的固有频率与振型函数 。
， 求扭转振动的固有频率与振型函数 。
解：轴扭转振动可表示为解：轴扭转振动可表示为 (x,t)=(x)F(t) 且有且有 tBtAtFcossin x a Dx a Cx cossin 左端为固定端 ， 边界条件为左端为固定端 ， 边界条件为(0,t)=0 或 (0)=0 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Ya 。

42、nshan University 轴在轴在L端的边界条件可由端的边界条件可由L端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩得出端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩得出 2 2 , t tL I x tL GJ LI x L GJ 2 d d 用振型函数表示为用振型函数表示为 按截面扭矩的正负规定来判断上面等式的按截面扭矩的正负规定来判断上面等式的“ ”号：在号：在 L端的扭矩以逆时针为正 ， 所以作用在圆盘端的扭矩以逆时针为正 ， 所以作用在圆盘I上的扭矩顺上的扭矩顺 时针为正；截面角位移时针为正；截面角位移 (x ， t) 逆时针为正 ， 以圆盘逆时针为正 ， 以圆盘I为为 研究对象 ， 即可列出园盘运动微分方程研究对象 ， 即可列出园盘 。

43、运动微分方程 2 2 t IM t 即为轴在即为轴在L端的边界条件 。
端的边界条件 。
燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 轴扭转振动的特征方程为轴扭转振动的特征方程为 tan= 因为因为a2=G/。
并引入 。
并引入 a L I LJ 的物理意义：轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比 。
对的物理意义：轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比 。
对 于给定于给定 值 ， 可以求出轴扭转振动固有频率的数值解 。
值 ， 可以求出轴扭转振动固有频率的数值解 。
(0)=0 x a Dx a Cx cossin 0D LI x L GJ 2 d d 。

44、 L a IL a GJ a sincos 2 tan GJ L aIa 2 tan GJ LLJ L L aaIaI 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 0.01 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.00 1.50 1 0.10 0.32 0.52 0.65 0.75 0.82 0.86 0.98 2.00 3.00 4.00 5.00 10.0 20.0 100 1 1.08 1.20 1.27 1.32 1.42 1.52 1.57 / 2 实际上 ， 通常基频振动最为重要 。
根据轴扭 。

45、转振动的实际上 ， 通常基频振动最为重要 。
根据轴扭转振动的 特征方程 ， 可以求得不同特征方程 ， 可以求得不同 值时的基本特征值值时的基本特征值 1 。
当当 值很小时 ， 即轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比值很小时 ， 即轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比 很小时 ， 可以近似地取很小时 ， 可以近似地取tan 1 1 。
轴扭转振动特征方程 。
轴扭转振动特征方程 的简化 。
的简化 。
或写为或写为 I k I LGJ I LJ L a 1 式中式中k =GJ /L为轴的扭转弹性刚度为轴的扭转弹性刚度 。
对基频的影响对基频的影响 2 tan= a L 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineerin 。

46、g, Yanshan University 该式为略去轴的质量后所得的单自由度该式为略去轴的质量后所得的单自由度 系统的固有频率公式 。
系统的固有频率公式 。
如果轴的转动惯量与圆盘的转动惯量相近 ， 由单自由如果轴的转动惯量与圆盘的转动惯量相近 ， 由单自由 度理论所述的瑞利法 ， 将轴转动惯量的三分之一加到圆度理论所述的瑞利法 ， 将轴转动惯量的三分之一加到圆 盘的转动惯量盘的转动惯量I上 ， 再按单自由度系统计算基频 ， 可得较上 ， 再按单自由度系统计算基频 ， 可得较 好的近似值 。
好的近似值 。
例如当例如当 =1时 ， 有时 ， 有 用上式计算所得的基频近似值的误差还不到用上式计算所得的基频近似值的误差还不到1 。
1 k I 显 。

47、然 ， 固有频率近似解的误差约为显然 ， 固有频率近似解的误差约为5 。
当当 =0.3时 ， 时 ， 1的近似解的近似解 tan= 2 1 =0.55 1的数值解的数值解 1 =0.52 33 1 LJI LGJ II k 近似解近似解1 =0.866 数值解数值解1 =0.864 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 例例2 如图所示的等直圆轴 ， 长为如图所示的等直圆轴 ， 长为L ， 以等角速度 ， 以等角速度 转动 ， 转动 ，某瞬时左端突然固定 ， 求轴的扭转振动响应 。
某瞬时左端突然固定 ， 求轴的扭转振动响应 。
解：一端固定一端自由解： 。

48、一端固定一端自由 的圆轴的边界条件为的圆轴的边界条件为 (0,t)=0 或 (0)=0 0 , x tL 0 d d x L 或 根据边界条件 ， 可得根据边界条件 ， 可得 0D0cosL a C a 哪个力学模型？哪个力学模型？ x a Dx a Cx cossin 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University t L ar Bt L ar Ax L r tx rr r 2 ) 12( cos 2 ) 12( sin 2 ) 12( sin),( 1 式中常数取决定于初始条件式中常数取决定于初始条件00 ,x0 ,。

49、x 将其代入位移响应表达式 ， 得将其代入位移响应表达式 ， 得 0 r B 1 2121 sin 22 r r rar Ax LL 21 1 2 2 r ra r, , L 固有频率：固有频率： ,r r a L 21 2 12 振型函数：振型函数： sin1xCxC a 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 将上式两边同时前乘以将上式两边同时前乘以 并沿轴全长积并沿轴全长积 分 。
利用固有振型的正交性 ， 解出分 。
利用固有振型的正交性 ， 解出 x L r 2 12 sin ,r ar L A r 21 12 8 2。

【03|03-2-杆的纵向振动与轴的扭转振动PPT优秀课件】50、2 代入扭转振动响应代入扭转振动响应 (x,t)表达式 ， 得表达式 ， 得 t L ar x L r ra L tx r 2 12 sin 2 12 sin 12 18 , 1 22 1 2121 sin 22 r r rar Ax LL 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 弦的横向振动弦的横向振动 弦横向振动、杆纵向振动与轴扭转振动弦横向振动、杆纵向振动与轴扭转振动 2 2 2 2 2 x y a t y Ta 杆的纵向振动杆的纵向振动 22 2 22 uu aaE tx 轴的扭转振动轴的扭转振动 22 2 22 aaG tx tFxYtxy, 通解通解 xExDxYcossin sincosFtAtBt 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动 个人观点供参考 ， 欢迎讨论 。

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