1、四四. . 柱坐标系与球坐标系简介柱坐标系与球坐标系简介 问题提出问题提出 t 5730 1 p 2 1. 1.平面直角坐标系和极坐标系分别是平面直角坐标系和极坐标系分别是 怎样建立的？怎样建立的？ 平面直角坐标系：平面直角坐标系：由两条互相垂直的有由两条互相垂直的有 向直线建立的；向直线建立的； 平面极坐标系：平面极坐标系：由一点引一条射线建立由一点引一条射线建立 的的. . 2. 2.空间直角坐标系是怎样建立的？空间直角坐标系是怎样建立的？ 由三条两两互相垂直的有向直线建立的由三条两两互相垂直的有向直线建立的. . 3. 3.通过平面直角坐标系或极坐标系 ， 通过平面直角坐标系或极坐标系 ，使 。

2、得平面上的点可以用直角坐标或极坐使得平面上的点可以用直角坐标或极坐 标表示 ， 对空间一点 ， 可以用空间直角标表示 ， 对空间一点 ， 可以用空间直角 坐标表示 ， 但在某些实际问题中 ， 用空坐标表示 ， 但在某些实际问题中 ， 用空 间直角坐标表示空间点的位置并不方便 ， 间直角坐标表示空间点的位置并不方便 ，因此 ， 我们还需要建立新的空间坐标系因此 ， 我们还需要建立新的空间坐标系 来解决这些问题来解决这些问题. . 探究（一）：探究（一）：柱坐标系柱坐标系 思考思考1 1：有一个圆形体育场 ， 自正东方向有一个圆形体育场 ， 自正东方向 起 ， 按逆时针方向等分为十二个扇形区起 ， 按逆时针方向等分为十二个扇形区 域 ， 顺次记为一区 ， 二区域 ，。

3、顺次记为一区 ， 二区十二区 ， 十二区 ，那么每个座位票是如何设定的？那么每个座位票是如何设定的？ 第几区 ， 第几排 ， 第几座第几区 ， 第几排 ， 第几座. . 思考思考2 2：设体育场第一排与体育场中心设体育场第一排与体育场中心O O 的距离为的距离为300m300m ， 前后相邻两排的间距都 ， 前后相邻两排的间距都 为为1m1m ， 每层看台的高度为 ， 每层看台的高度为0.6m0.6m ， 那么第 ， 那么第 九区第三排正中的位置九区第三排正中的位置A A与体育场中心与体育场中心O O 的水平距离为多少的水平距离为多少m m？从正东方向到位置？从正东方向到位置 A A的水平旋转角是多少？位置的水平旋转角是多少？位置A A距地 。

4、面的距地面的 高度为多少高度为多少m m？ 302m 302m ，， 1.8m1.8m 17 12 思考思考3 3：根据坐标思想 ， 可以用数组根据坐标思想 ， 可以用数组 (302(302 ，， 1.8)1.8)表示点表示点A A的准确位置 ， 那的准确位置 ， 那 么这个空间坐标系是如何建立的？么这个空间坐标系是如何建立的？ 17 12 x x O O z z在水平面内建立极坐标系在水平面内建立极坐标系 OxOx ， 过极点 ， 过极点O O作水平面的垂作水平面的垂 线线 Oz.Oz. P P x x O O z z 思考思考4 4：上述所建立的坐标系叫做上述所建立的坐标系叫做柱坐标柱坐标 系系 ， 对于空间一点 ， 对于空 。

5、间一点P P ， 点 ， 点P P的柱坐标如何的柱坐标如何 表示？表示？ Q Q z z 设点设点P P在水平面上的射影为在水平面上的射影为Q Q ， 点 ， 点Q Q的极坐标的极坐标 为为 ( ( ， ) ) ， 点 ， 点Q Q与点与点P P的有向距离为的有向距离为z z ， 则 ， 则 有序数组有序数组 ( ( ， z)z)为点为点P P的柱坐标的柱坐标. . 思考思考5 5：为了表示方便 ， 柱坐标为了表示方便 ， 柱坐标 ( ( ，， z)z)中三个坐标分量的取值范围分别中三个坐标分量的取值范围分别 如何约定为宜？如何约定为宜？ P P x x O O z z Q Q z z 00 ， 00 ，2)2) ，zRzR. . 思考思考6 6 。

6、：若按如图所示建立空间直角坐标若按如图所示建立空间直角坐标 系和柱坐标系 ， 那么点系和柱坐标系 ， 那么点P P的直角坐标的直角坐标 (x(x ，y y ， z) z) 和柱坐标和柱坐标( ( ， z)z)之间的互化之间的互化 公式是什么？公式是什么？ P P y y O O Q Q z z z z x x x xcoscos ，y ysinsin ，z zz.z. 思考思考7 7：给定一个底面半径为给定一个底面半径为r r ， 高为 ， 高为h h的的 圆柱 ， 建立柱坐标系 ， 如何利用柱坐标圆柱 ， 建立柱坐标系 ， 如何利用柱坐标 描述圆柱的侧面？描述圆柱的侧面？ P P y y O O z z x x Q Q r r ，。

7、00 ，2)2) ，z0z0 ，h.h. 设点的直角坐标为设点的直角坐标为(1 ， 1 ， 1) ， 求它 ， 求它 在柱坐标系中的坐标在柱坐标系中的坐标. 1 1 1 cos sin z 2 解得解得=， = 4 2 4 点点在柱坐标系中的坐标为在柱坐标系中的坐标为 （，， 1）. 注：注：求求时要注意角的终边与点的时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致射影所在位置一致 北极北极 南极南极 赤道赤道 地轴地轴 P 子子 午午 线线 o 南极南极 赤道赤道 P 地轴地轴 北极北极 o 探究（二）：球坐标系探究（二）：球坐标系 思考思考1 1：地球上一点地球上一点P P的经度和纬度分别是什的经度和纬度分别是 。

8、什 么概念？对地球表面上一点的位置 ， 一般用么概念？对地球表面上一点的位置 ， 一般用 哪种方式来确定？哪种方式来确定？ 经度：经度：过点过点P P从北极到南极的半圆面与子从北极到南极的半圆面与子 午面所成的二面角的平面角；午面所成的二面角的平面角； 纬度：纬度：过点过点P P的球半径与赤道平面所成的的球半径与赤道平面所成的 角角. . 对地球表面上一点的位置一般用经度和对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定纬度来确定. . 航天器到地表面的距离 ， 航天器所处航天器到地表面的距离 ， 航天器所处 位置的经度和纬度位置的经度和纬度. . 思考思考2 2：要确定航天器在天空中某一时刻要确定航天器在天空 。

9、中某一时刻 的位置 ， 可通过哪些数据来确定？的位置 ， 可通过哪些数据来确定？ 思考思考3 3：设航天器到地表面的距离为设航天器到地表面的距离为r r ，航天器所处位置的经度为航天器所处位置的经度为 ， 纬度为 ， 纬度为 ，如何建立空间坐标系 ， 才能方便得出如何建立空间坐标系 ， 才能方便得出r r ，， 的值？的值？ Q Q O O z z x x r 在赤道平面上 ， 取在赤道平面上 ， 取 地球球心为极点 ， 地球球心为极点 ，以与零子午线相交以与零子午线相交 的球半径所在射线的球半径所在射线 OxOx为一条极轴 ， 再为一条极轴 ， 再 以经过北极的球半以经过北极的球半 径所在射线径所在射线OzOz为另为另 一条极轴一条极轴 。

10、. . P P 思考思考4 4：上述坐标系称为上述坐标系称为球坐标系球坐标系或或空间空间 极坐标系极坐标系 ， 因为极角是极径与极轴所成 ， 因为极角是极径与极轴所成 的角 ， 那么航天器的纬度角的角 ， 那么航天器的纬度角可换成哪可换成哪 个角来反映？个角来反映？ P P Q Q O O z z x x r 射线射线OPOP与与OzOz轴正轴正 向所夹的角为向所夹的角为. . 思考思考5 5：一般地 ， 在球坐标系中 ， 对空一般地 ， 在球坐标系中 ， 对空 间任意一点间任意一点P P ， 设 ， 设|OP|OP|r r ， 射线 ， 射线OPOP与与OzOz 轴正向所夹的角为轴正向所夹的角为 ， OxOx轴按逆时针方轴按逆时针方 向旋转到 。

11、向旋转到OPOP在水平面上的射影在水平面上的射影OQOQ所转过所转过 的最小正角为的最小正角为 ， 则点 ， 则点P P的位置可以用的位置可以用 有序数组有序数组(r(r ， )表示 ， 该有序数表示 ， 该有序数 组叫做点组叫做点P P的的球坐标球坐标 ， 其中三个坐标分 ， 其中三个坐标分 量的取值范围分别是什么？量的取值范围分别是什么？ r0 r0 ，00 ，00 ， 2).2). P P Q Q O O z z x x r (r(r ， ) 思考思考6 6：若按如图所示建立空间直角坐标若按如图所示建立空间直角坐标 系和球坐标系 ， 那么点系和球坐标系 ， 那么点P P的直角坐标的直角坐标 (x(x ，y y ， z) z) 和球坐标 。

12、和球坐标(r(r ， )之间的互化之间的互化 公式是什么？公式是什么？ P P Q Q O O z z x x r y y x xrsincosrsincos ，y yrsinsinrsinsin ，z zrcosrcos. . 思考思考7 7：利用空间直角坐标系 ， 柱坐标系利用空间直角坐标系 ， 柱坐标系 或球坐标系 ， 研究空间图形的几何特征或球坐标系 ， 研究空间图形的几何特征 时 ， 应如何根据问题的特点选择坐标系？时 ， 应如何根据问题的特点选择坐标系？ 涉及三个距离用空间直角坐标系；涉及三个距离用空间直角坐标系； 涉及两个距离和一个角用柱坐标系；涉及两个距离和一个角用柱坐标系； 涉及一个距离和两个角用球坐标 。

【坐标系|柱坐标系与球坐标系简介】13、系涉及一个距离和两个角用球坐标系. . 设点的球坐标为设点的球坐标为(2 ，，) ， 求 ， 求 它的直角坐标它的直角坐标. 3 4 3 4 33 22 221 22 44 33 22 221 22 44 3 2 222 2 4 xsincos- ysinsin zcos(- （） ） 2 点点在直角坐标系中的坐标为在直角坐标系中的坐标为 （ 1， 1， ） ， ）. 数轴数轴 平面直角坐标系平面直角坐标系 平面极坐标系平面极坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系 球坐标系球坐标系 柱坐标系柱坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁 ， 利用坐标系是联系形与数的桥梁 ， 利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化 ， 从而产生了坐标法的相互转化 ， 从而产生了坐标法. 坐标系坐标系 小结小结 。

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标题：坐标系|柱坐标系与球坐标系简介