1、一、一、 条件数学期望条件数学期望 1、 离散型离散型r.v. 的条件数学期望的条件数学期望 X和Y的边缘分布律分别为 1 ,1, 2,. iiij j P Xxppi 1 ,1, 2,. jjij i P Yyppj 4.4 条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差 设随机变量X与Y的联合分布律为 ,1, 2, ijij P Xx Yypi j 为Yyj的条件下 ， X的条件分布律;
记为 . |,1,2,. ij ij j p P XxYyj p 若对固定的j, p.j 0, 则称 X|Y=yjx1 x2 P p1j/p.j p2j/p.j xn pnj/p.j 同理 ， 对固定的i, pi.。

【条件|条件数学期望与条件方差】2、0, 称 . |,1,2,. ij ji i p P YyXxj p 为X xi的条件下 ， Y 的条件分布律;
1 . (|),1,2, ij ji i j p E XYyxj p 定义 设随机变量X与Y的联合分布律为 ,1,2, ijij P Xx Yypi j 1 . (|),1,2, ij ij i i p E YXxyi p 2 2、连续型、连续型r.v. r.v. 的条件数学期望的条件数学期望 | ( | ), X Y px y的概率密度若 | ( | ), X Y x px y dx 则称 | |( | ) X Y E X Yyxpx y dx XYy为 在条件下的条件数学期望 ， 简称 。

3、条件期望 。
| |( | ) Y X E Y Xxypy x dy 定义 设连续型随机变量(X,Y) ， 在Y=y发生条件下 ，同理： 注1：E(Y|X=x)为关于x的函数 ， 记为 (x) 则E(Y|X)= (X) 定理1. X,Y为r.v.,EX, EY, Eg(Y )存在, 则 1,(|)aXbaE X Yyb（）若 12 11221122 2,(|) (|)(|)(|) i C CE XYy E C XC XYyC E XYyC E XYy （）为常数 ， 且存在 ， 则 3 (|)E E X YEX（ ） Proof (1)(2)性质与普通数学期望证明是一样的 . 11 . (3),() (|) j 。

4、jj ij iii jij ii j X YYyP Yyp p E X Yyx pxu p 若（）为离散型 ， 的概率为 12 .1.2. . 111 . (|) (|) (|) j j ij jjij jji j E X Y E X Yuuu Pppp p E E X Yu pxpEX p 所以的分布律 (|)()( ) ()( ) X YY X YY E E X Yxpx y dx py dy xpx y py dxdy EX 若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则 (1) X, Y独立,有E(Y|X)=EY;
定理2. X,Y为r.v.,EX, EY, Eg(Y )存在, 则 ( 。

5、2) E(g(X)Y|X)=g(X)E(Y|X);
(3) E(c|X)=c;
(4) E(g(X)|X)= g(X);
(5) EY-E(Y|X)2EY- g(X)2;
22 1212 (, ) (, )(|),(|)X YNE X Yy E Y Xx 求 1122 2 2 1122 1 2 22 11 2(1) 21 ( , )exp()2() xxyy p x y 解： 1122 2 1122 122 22 12 2 22 1 2(1) ()2 1 2(1)2 ()2() () xxyy xyy 由于 2 1 1 22 2 1 1 21 2 1 12 2(1) () exp() X Y。

6、px y xy 1 2 2 1 12 21 ()() ()() E X Yyy E Y Xxx 所以 同理 二、条件方差二、条件方差 1、定义定义 2 2、条件方差的性质、条件方差的性质 (|)D Y X 2 2 (|)|(|) D X YE XYE X Y 2 (|) |E YE Y XX存在,称之为随机变量X 条件下随机变量Y的条件方差 ， 记为 2 2 (|)|(|) D Y XE YXE Y X 定理定理1 1( )(|)(|)D YED Y XD E Y X 证明证明 2 2 2 2 (|)|(|) (|) X X ED Y XEE YXE Y X EYEE Y X 22 (|) (|)() X D E Y XEE Y XEY ( )(|)(|)D YED Y XD E Y X 总 结 条件数学期望条件数学期望 条件方差条件方差 。

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标题：条件|条件数学期望与条件方差