13、成的角即为 ， 即.不妨设菱形的边长为2 ， 则在等边三角形中 ， 在中 ， 以为原点 ， 分别以 ， 为 ， 轴建立空间直角坐标系 ， 则 ， 设平面的一个法向量为 ， 则 ， 可得 ， 而平面的一个法向量为 ， 则 ， 二面角的余弦值的大小为.【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值 ， 考查逻辑推理能力及运算求解能力 ， 属于中档题19.已知椭图：的右顶点与抛物线：的焦点重合 ， 椭圆的离心率为 ， 过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）过点的直线与椭圆交于 ， 两点 ， 点关于轴的对称点为.当直线绕点旋转时 ， 直线是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【答案】（1） ，；（2）是 ， 证明见解析.【解 。

14、析】分析】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同 ， 椭圆的离心率 ， 列出方程组 ， 求出 ， 即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系 ， 设 ， 求得直线的方程 ， 化简整理 ， 由直线恒过定点的求法 ， 可得所求定点【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为 ， 依题意 ， 可得 ， 则： ， 代入 ， 得 ， 即 ， 所以 ， 则有 ， .所以椭圆的方程为 ， 抛物线的方程为.（2）依题意 ， 当直线的斜率不为0时 ， 设其方程为 ， 联立 ， 得 ， 设 ， 则 ， 由 ， 解得或 ， 且 ， 根据椭圆的对称性可知 ， 若直线过定点 ， 此定点必在轴上 ， 设此定点为 ， 因斜率 ， 得 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ， 得 ， 由的任意性可知.当直线的斜率为0时 ， 直线的方程即为 ， 也经过点 ， 所以当或时 ， 直 。

15、线恒过一定点.【点睛】本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用 ， 直线与椭圆的位置关系的应用 ， 考查计算能力 ， 属于中档题20.某市有一家大型共享汽车公司 ， 在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车 ， 已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量 ， 决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验 ， 假设每辆汽车被抽取的时能性相同.（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中 ， 发现蓝色汽车存在一定质量问题 ， 监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测 ， 并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场 ， 并继续随机地抽取下一辆汽车 。

16、；若抽到的是蓝色汽车 ， 则抽样结束；并规定抽样的次数不超过次 ， 在抽样结束时 ， 若已取到的黄色汽车数以表示 ， 求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析 ， .【解析】【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为 ， 从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验 ， 取到蓝色汽车的数量 ， 由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率（2）的可能取值为0 ， 1 ， 2 ， 由此能求出的分布列和数学期望【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为 ， 用表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数” ， 则服从二项分布 ， 即 ， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率.（2）的可能取值为：0 ， 1 ， 2 ，。

17、. ， .所以的分布列为：012的数学期望为： ，（1）. （2）（1）-（2）得： ， 所以.【点睛】本题考查概率的求法 ， 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法 ， 考查二项分布等基础知识 ， 考查运算求解能力 ， 属于中档题21.已知函数 ， 既存在极大值 ， 又存在极小值.（1）求实数的取值范围；（2）当时 ， 分别为的极大值点和极小值点.且 ， 求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数 ， 结合函数的单调性确定的范围即可；（2）求出函数的极值点 ， 问题转化为 ， 设 ， 根据函数的单调性确定的范围即可【详解】解：（1）由得 ， 即 ， 由题意 ， 若存在极大值和极小值 ， 则必有两个不相等的实数根 ， 由得 ， 所以 。

18、必有一个非零实数根 ， 且 ， 或.综上 ， 实数的取值范围为.（2）当时 ， 由（1）可知的极大值点为 ， 极小值点为 ， 此时 ， 依题意得对任意恒成立 ， 由于此时 ， 所以；所以 ， 即 ， 设 ， 则 ， 令 ， 判别式.当时 ， 所以 ， 在单调递增 ， 所以 ， 即 ， 符合题意；当时 ， 设的两根为 ， 且 ， 则 ， 因此 ， 则当时 ， 在单调递减 ， 所以当时 ， 即 ， 所以 ， 矛盾 ， 不合题意；综上 ， 的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法 ， 考查了推理能力与计算能力 ， 属于难题22.在平面直角坐标系中 ， 直线的参数方程为（为参数） ， 直线的参数方程为（为参数） ， 设直线与的交点为 ， 当变化时点的轨迹为曲线.（1）求出曲线的普通方程；（2）以坐标原 。

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标题：湖南省师大附中2020届高三数学下学期统一模拟考试试题理?含解析?|湖南省师大附中2020届高三数学下学期统一模拟考试试题理?含解析?( 三 )