1、会计学1 理论力学理论力学18动能定理动能定理 18.1.1 常力的功 设物体在常力F作用下沿直线走过路程s ， 如 图 ， 则力所作的功W定义为 cosWFs F s 功是代数量 。
它表示力在一段路程上的累积作用效应， 因此功为累积量 。
在国际单位制中 ， 功的单位为： J (焦耳), 1J1 Nm 。
第1页/共74页 18.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动 ， 如图 。
力F在微小弧段上所作的功称为力的元功, 记为dW, 于是有 cosdWFs M M1 M2 d s M d r F 力在全路程上作 的功等于元功之和 0 cos d s WFs 上式称为自然法表示的功的计算公式 。
第2页/共 。

2、74页 dW Fr 2 1 d M M W Fr 称为矢径法表示的功的计算公式 。
在直角坐标系中 dddd xyz FFFxyz Fijk,rijk ddd xyz WF xFyF z 2 1 (ddd ) M xyz M WF xFyF z 上两式可写成矢量点乘积形式 上式称为直角坐标法表示的功的计算公式 ， 也称为 功的解析表达式 。
第3页/共74页 1) 重力的功 设质点的质量为m ， 在重力 作用下从M1运动到M2 。
建立如 图坐标 ， 则 0,0, xyz FFFmg 代入功的解析表达式得 2 1 1212 ()d() z z Wmgzmg zz 18.1.3 常见力的功 M1 M2 M mg z 。

3、1 z2 O x y z 第4页/共74页 对于质点系 ， 其重力所作的功为 1212 12 12 12 () () () () iii iiii CC CC Wm g zz m zm zg MzMzg Mg zz 由此可见 ， 重力的功仅与重心的始末位置有关 ， 而 与重心走过的路径无关 。
第5页/共74页 2) 弹力的功 物体受到弹性 力的作用, 作用点的 轨 迹 为 图 示 曲 线 A1A2, 在弹簧的弹性 极限内, 弹性力的大 小与其变形量d 成正 比 。
设弹簧原长为l0 , 则弹性力为 00 ()k rl Fr 22 11 1200 d()d AA AA Wk rl Fr =rr A1 A2 r2 。

4、 r1 d1 d2 l0 O r0 r A d F A0 dr 第6页/共74页 于是 2 1 22 1201020 1 ()d()() 2 r r Wk rlrkrlrl 或 )( 2 1 2 2 2 112 ddkW 因为 2 0 11 ddd()dd 22 rr rrr r rrrr r 弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关 ， 与力的作用点A的轨迹形状无关 。
第7页/共74页 3) 定轴转动刚体上作用力的功 设作用在定轴转动刚体上A点的力为 F,将该力分解为Ft、Fn和Fb ，当刚体转动时 ， 转角j与弧长s的关系为 t cosFF ddsRj R为力作用点A到轴的垂距 。
力F的元 。

5、 功为 tt dddd z WFsF RMjjFr = Ft F r Fb Fn O z O1 A 力F在刚体从角j1转到j2所作的功为 2 1 12 d z WM j j j Mz可视为作用在刚体上的力偶 第8页/共74页 a 例1 如图所示滑块重P9.8 N ，弹簧刚度系数k0.5 N/cm ， 滑块 在A位置时弹簧对滑块的拉力为 2.5 N ， 滑块在20 N的绳子拉力作 用下沿光滑水平槽从位置A运动到 位置B ， 求作用于滑块上所有力的 功的和 。
解：滑块在任一瞬时受力如图 。
由于P与N始终垂直于滑块位移 ， 因此 ， 它们所作的功为零 。
所以只需计算T 与F的功 。
先计算T 的功： 在运动过程中 ， T 的大小不 。

6、变 ， 但方向在变 ， 因此T 的元功为 cosd T WTxa 22 15)20()20(cosxxa T 15 cm B A 20 cm T P F N 因此T在整个过程中所作的功为 第9页/共74页 再计算F的功： 由题意： 1 2.5 5cm 0.5 d 2 52025cmd 因此F在整个过程中所作的功为 2222 12 11 ()0.5(525 )150N cm 22 F Wkdd 因此所有力的功为 200 15050N cm TF WWW T 15 cm B A 20 cm 2020 2200 20 cosd20d200 N cm (20)15 T x WTxx x a 第10页/共74页 。

7、 1. 质点的动能 设质点的质量为m ， 速度为v ， 则质点的动能为 2 2 1 mvT 动能是标量 ， 在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。
2. 质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的 动能 ， 即 2 2 1 iiv mT 第11页/共74页 刚体是工程实际中常见的质点系 ， 当刚体的运动 形式不同时 ， 其动能的表达式也不同 。
(1) 平动刚体的动能 222 2 1 2 1 2 1 CiCii MvmvvmT (2) 定轴转动刚体的动能 222 222 11 22 11 22 iii i i iz Tmvmr mrJ 第12页/共74页 (3) 平面运动刚体的动能 2 1 2 P TJ 因 。

8、为JPJC + md 2 所以 2222 )( 2 1 2 1 )( 2 1 dmJmdJT CC 因为dvC ,于是得 22 2 1 2 1 CC JmvT 平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与 绕质心转动的动能的和 。
d C P 第13页/共74页 C 22 11 22 CC TmvI 2 1 , 2 CC ImRvR 2 4 3 C mvT 牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能: 第14页/共74页 v A B C I I 为AB杆的瞬心 2 3 4 A TMv sinl v 2 22 11 1223 I l Imlmml 2 22 2 11 26sin3 ABIAB mv TImv 。

9、 2 1 94 12 TMm v 总 例2 均质细杆长为l ， 质量为m ， 上端B靠在光滑的墙上 ， 下 端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相 连 ， 在图示位置圆柱作纯滚动 ， 中心速度为v ， 杆与水平线的 夹角=45o ， 求该瞬时系统的动能 。
vIA AAB TTT 总 第15页/共74页 a O r dr O1 P A B C 例3 长为l ， 重为P的均质杆OA由球铰链 O固定 ， 并以等角速度 绕铅直线转动， 如图所示 ， 如杆与铅直线的交角为a， 求杆的动能 。
1 sin r vO Bra 1 dd P mr lg 22 22 1 ddsind 22 r Pr Tm vr gl a 杆OA的动能是 。

10、 2222 22 00 dsindsin 26 llP rPl TTr glg aa 解：取出微段dr到球铰的距离为r ， 该微段的速度是 微段的质量 微段的动能 第16页/共74页 O1 例4 求椭圆规的动能 ， 其中OC、AB为均质细杆 ， 质量为m 和2m ， 长为a和2a ， 滑块A和B质量均为m ， 曲柄OC的角速 度为 ， j = 60 。
解：在椭圆规系统中滑块A和B作平动 ， 曲柄OC作定轴转动 ， 规尺AB作平面运动 。
首先对运动进行分析 ， O1是AB的速度瞬心 ， 因: 1 2 cos AAB vO Aaaj 22 2 1 22 AAA ma Tm v A B O C j vC vB vA AB 1 2 sin3 BA 。

11、B vO Baaj 22 2 13 22 BBB ma Tm v 1cAB vOCOC A B 第17页/共74页 A B vA vC O C j O1 vB AB 对于曲柄OC： 22 1 3 OOC Imama 规尺作平面运动 ， 用绕速度瞬心转动的公式求动能： 2 11 222 18 123 2(2 )2 OCAB IImOC mam ama 22222222 22 1314 2263 7 2 ABOCAB TTTTT mamamama ma 222 11 26 OCO TIma 222 1 14 23 ABOAB TIma 系统的总动能为： 第18页/共74页 B j A 例5 滑块A以速 。

12、度vA在滑道内滑动 ， 其上铰接一质量为m ， 长为l的均质杆AB ， 杆以角速度 绕A转动 ， 如图 。
试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时 ， 杆的动能 。
解：AB杆作平面运动 ， 其质心C的速度为 CACA vvv 速度合成矢量图如图 。
由余弦定理 222 22 11 22 222 1 4 2cos(180) ()2cos cos CACAA CA AA AA vvvv v vlvl vll v j j j 则杆的动能 22 11 22 22222 1111 24212 222 11 23 (cos )() (cos ) CC AA AA TmvJ m vll vml m vll v j j vA j B A l v 。

13、A vCA vC vA 第19页/共74页 1. 质点的动能定理 取质点运动微分方程的矢量形式 d d m t v F 在方程两边点乘dr ， 得 d dd d m t v rFr 因drv dt ， 于是上式可写成 ddm vvFr 或 2 1 d() 2 mvW 质点动能的增量 等于作用在质点 上的力的元功 。
第20页/共74页 积分上式 ， 得 2 1 2 12 1 d() 2 v v mvW 或 12 2 1 2 2 2 1 2 1 Wmvmv 在质点运动的某个过程中 ， 质点动能的改变量 等于作用于质点的力作的功 。
2 1 d() 2 mvW 第21页/共74页 2. 质点系的动能定理 设质点系由n 。

14、个质点组成 ， 第i个质点的质量为 mi ， 速度为vi ， 根据质点的动能定理的微分形式 ， 有 2 1 d() 2 iii mvW 式中dWi表示作用在第i个质点上所有力所作的元功之 和 。
对质点系中每个质点都可以列出如上的方程 ，将n个方程相加 ， 得 2 1 d() 2 iii m vW 2 1 d() 2 iii mvW 第22页/共74页 于是得d i TW 质点系动能的微分 ， 等于作用在质点系上 所有力所作的元功之和 。
对上式积分 ， 得 1212 WTT 质点系在某一运动过程中 ， 起点和终点的 动能的改变量 ， 等于作用于质点系的全部力在 这一过程中所作的功之和 。
第23页/共74页 3. 理想约束及内力作 功 。

15、 对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束 ， 其约束 力都垂直于力作用点的位移 ， 约束力不作功 。
光滑铰支座和固定端约束 ， 其约束力也不作功 。
光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细绳 作为系统内的约束时 ， 约束力作功之和等于零 。
滑动摩擦力作负功 。
当轮子在固定面上只滚不滑时 ， 滚动摩擦力不作功。
变形元件的内力(气缸内气体压力、弹簧力等)作功； 刚体所有内力作功的和等于零 。
第24页/共74页 例7 已知： m， R, f， j。
求纯滚动时盘心的加 速度 。
j C FN mg vC F 解：取系统为研究对象 ， 假设圆盘 中心向下产生位移 s时速度达到vc。
s 1 0T 力的功：jsin 1 。

16、2 mgsW 由动能定理得 ： jsin0 4 3 2 mgsmvC 2 2 4 3 C mvT jsin 3 2 ga 解得 ： 第25页/共74页 例8 卷扬机如图 ， 鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉 。
已 知鼓轮的半径为R1 ， 质量为m1 ， 质量分布在轮缘上；圆柱 的半径为R2 ， 质量为m2 ， 质量均匀分布 。
设斜坡的倾角为， 圆柱只滚不滑 。
系统从静止开始运动 ， 求圆柱中心C经过 路程S 时的速度 。
解：以系统为研究对象 ，受力如图 。
系统在运动过程中 所有力所作的功为 sgm R s MWasin 2 1 12 系统在初始及终了两状态的动能分别为 0 1 T 222 21122 111 222 CC T 。

17、Im vI a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 第26页/共74页 其中 2 111 Im R 2 22 1 2 C Im R 1 1 R vC 2 2 R vC 于是 )32( 4 21 2 2 mm v T C 由 1212 WTT得 sgm R s Mmm vC asin0)32( 4 2 1 21 2 解之得 )32( )sin( 2 211 12 mmR sgRmM vC a a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 第27页/共74页 例9 在对称连杆的A点 ， 作用一铅垂方向的常力F ， 开始时 系统静止 ， 如图 。
求连杆OA运动到水平位置时的角速度 。

18、 。
设连杆长均为l ， 质量均为m ， 均质圆盘质量为m1 ， 且作纯滚 动 。
解：分析系统 ， 初瞬时的动能为0 1 T 设连杆OA运动到水平位置时的 角速度为 ， 由于OAAB ， 所以杆 AB的角速度也为 ， 且此时B端为杆 AB的速度瞬心 ， 因此轮B的角速度 为零 ， vB=0 。
系统此时的动能为 22 2 222222 11 22 1 11 11 ()() 2 32 33 OB TII mlmlml O a A F B vA vB 第28页/共74页 系统受力如图所示 ， 在运动过程 中所有的力所作的功为 12 2(sin)sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a 22 1 0() sin 3 mlm 。

19、gF la 解得 3()sinmgF lm a O a A F B mg mg FS FN m1g FOx FOy 1212 WTT 由得 第29页/共74页 例例 10 已知：已知： J1，J2，R1，R2， i12 = R2 / R1 M1，，M2。
求轴 。
求轴的角加速度 。
的角加速度 。
M1 M2 解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象 2 22 2 112 1 2 1 2 1 0 JJT T 2 1 1 2 12 2 1 j j R R i 由运动学可知：由运动学可知： 2 1 2 12 2 12 )( 2 1 i J JT 主动力的功：主动力的功： 1 12 2 1 。

20、221112 )(jjj i M MMMW 第30页/共74页 由动能定理得由动能定理得 ： 1 12 2 1 2 1 2 12 2 1 )(0)( 2 1 j i M M i J J 将上式对时间求导 ， 并注意将上式对时间求导 ， 并注意 1 1 1 1 , j a dt d dt d 解得：解得：)()( 2 12 2 1 12 2 11 i J J i M Ma M1 M2 第31页/共74页 解：取系统分析 ， 则运动初瞬时的动能为 例12 如图 ， 重物A和B通过动滑轮D和定滑轮而运动 。
如果重物A开始时向下的速度为v0 ， 试问重物A下落多大距离 ， 其速度增大一倍 。
设重物A和B的质量均为m ， 滑轮D和C的 。

21、质量均为M ， 且为均质圆盘 。
重物B与水平面间的动摩擦系数为f， 绳索不能伸长 ， 其质量忽略不计 。
2 0 1 2 A Tmv D A B 2v0 C v0 222 0 0 21 1 ()() 2 2 CC C v TMrMv r 22 00 1 (2)2 2 B Tmvmv 2 10 710 4 ABCD Mm TTTTTv 2222 0 00 11 13 ()() 22 24 DD D v TMvMrMv r 第32页/共74页 系统受力如图所示 ， 设重物A下降h高度时 ， 其速度增大一倍 。
在此过程中 ， 所有的力所作的功为 12 2 (1 2) WmhMhf mgh Mfm hg 由 1212 WTT。

22、得 2 0 3 (710 )(1 2) 4 Mm vMfm hg 解得 2 0 3(710 ) 4(1 2) vMm h g Mfm 速度增大一倍时的动能为 2 20 (710 )TMm v D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 第33页/共74页 1. 势势 力力 场场 如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所 在位置确定的力作用 ， 则这部分空间称为力场 。
如果物体在某力场内运动 ， 作用于物体的力所作的功只与力作 用点的初始位置和终了位置有关 ， 而与该点的轨迹形状无关 ， 这 种力场称为势力场（保守力场） 。
2. 势势 能能 在势力场中 ， 质点从点M运动到任选 。

23、的点M0 ， 有势力所作的 功称为质点在点M相对于点M0的势能 ， 以V 表示为 00 )( M M M M ZdzYdyXdxdVrF 第34页/共74页 a. 重力场中的势能重力场中的势能 b. 弹性力场中的势能弹性力场中的势能 取取M0为零势能点 ， 则点为零势能点 ， 则点M 的势能为：的势能为： )( 0 0 zzmgmgdzV z z )( 2 2 0 2 dd k V 取弹簧自然位置为零势能点 ， 则有：取弹簧自然位置为零势能点 ， 则有： 2 2 d k V 第35页/共74页 c. 万有引力场中的势能万有引力场中的势能 ) 11 ( 1 2 2 0 2 21 00 rr mmfdr r mfm d。

24、r mfm dV 1 r r 2 1 A A A A 1 rrrF 取无穷远处为零势能点 ， 则有：取无穷远处为零势能点 ， 则有： r mmf V 12 有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与 终了位置的势能的差 。
终了位置的势能的差 。
121 WVV 第36页/共74页 3. 机械能守恒定律机械能守恒定律 保守系统保守系统 仅在有势力作用下的系统 。
仅在有势力作用下的系统 。
机械能机械能 系统所具有的动能与势能的总称 。
系统所具有的动能与势能的总称 。
机械能守恒机械能守恒 系统仅在有势力作用下运动时 ， 系统仅在有势力作用下运动时 ，其机械能保持恒定 。
其机械能保 。

25、持恒定 。
2211 VTVT 常数EVT 第37页/共74页 (e) dd dd m tt p vF 质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和（或外力的主矢） 。
上式也可以写成 (e)(e) dddt pFI 质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲 量的矢量和 。
质点系动量定理的微分形式 18.6 普遍定理综合应用 普遍定理： 第38页/共74页 质点系动量定理的微分投影形式 (e)(e)(e) d dd ddd y xz xyz p pp FFF ttt 0 (e) 0 dd pt p t pF 或 (e) 0 ppI 质点系动量定理的积分形式 在某一时间间隔内 ， 质点系 。

26、动量的改变量等于在这 段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和 。
质点系动量定理的积分投影形式 ( )( )( ) 000 , eee xxxyyyzzz ppIppIppI 第39页/共74页 pp0 恒矢 量 若 ， 则 (e) 0 x F 如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零 ， 质点系的 动量保持不变 。
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影 恒等于零 ， 质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不 变 。
pxp0 x 恒量 质点系动量守恒定律 第40页/共74页 质量中心 i ii i C i mm mM rr r iiii C i iiii C i iiii C i m xm x x mm m。

27、ym y y mm m zm z z mm 第41页/共74页 (e) d () d C m t vF 对于质量不变的质点系 ， 上式可改写为 或 (e) C m aF 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系 外力的矢量和(外力的主矢) 。
(e) d d C m t v F 形式上 ， 形式上 ， 质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似 ， 因质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似 ， 因 此质心运动定理也可叙述如下：此质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动 ， 可以看质点系质心的运动 ， 可以看 成一个质点的运动 ， 设想此质点集中了整个质点系的质量及成一个质点的运动 ， 设想此质点集中了整个质点系的质量及 其 。

28、所受的外力 。
其所受的外力 。
由质心运动定理可知 ， 质点系的内力不影响由质心运动定理可知 ， 质点系的内力不影响 质心的运动 ， 只有外力才能改变质心的运动 。
质心的运动 ， 只有外力才能改变质心的运动 。
第42页/共74页 质心运动定理直角坐标投影式 (e) (e) (e) Cxx Cyy Czz maF maF maF 自然轴上的投影式 2 (e)(e)(e) tnb d ,0 d CC vv mFmFF t 第43页/共74页 如果作用于质点系的外力主矢恒等于零， 则质心作匀速直线运动；若系统开始静止， 则质心位置始终保持不变 。
如果作用于质点系的所有外力在某轴 上的投影的代数和恒等于零 ， 则质心速度在 该轴 。

29、上的投影保持不变；若开始时速度投影 等于零 ， 则质心沿该轴的坐标保持不变 。
以上结论 ， 称为质心运动守恒定理 。
第44页/共74页 (e) 1 d () d n OOi i t LMF 质点系对某固定点O的动量矩对时间的导 数 ， 等于作用于质点系的外力对于同一点的 矩的矢量和 。
第45页/共74页 在应用质点系的动量矩定理时 ， 取投影式 (e) (e) (e) d () d d () d d () d xxi yyi zzi LM t LM t LM t F F F 质 点 系 对 某固定轴的动 量矩对时间的 导数 ， 等于作 用于质点系的 外力对于同一 轴的矩的代数 和 。
第46页/共74页 1. 质点 。

【理论|理论力学18—动能定理PPT学习教案】30、动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律 如果作用在质点上的力对某定点(或定轴) 之矩恒等于零 ， 则质点对该点(或该轴)的动量 矩保持不变 。
当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于 零时 ， 质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持 不变 。
2. 质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律 第47页/共74页 d ()() d zz JM t F d () d zz JM t F 2 2 d () d zz JM t j F x y z FN1 FN2 Fn F1 F2 () zz JMa F 或 第48页/共74页 质点系相对于质心的动量矩对时间的导 数 ， 等于作用于质点系的外力对质心的 主矩 。
(e) d () 。

31、 d C Ci t L MF 第49页/共74页 2 (e) 2 d d C m t r F 2 (e) 2 d () d CC JM t j F j y x x y O C D (e) (e) (e) () Cx Cy CC mxF myF JMj F 投影式：投影式： 第50页/共74页 动力学普遍定理(动量定理、动量矩定理和动能定 理)， 它们从不同角度研究了质点或质点系的运动量 (动量、动量矩、动能)的变化与力的作用量(冲量、 力矩、功等)的关系 。
但每一定理又只反映了这种关 系的一个方面 ， 即每一定理只能求解质点系动力学 某一方面的问题 。
动量定理和动量矩定理是矢量形式 ， 因质点系的 内力 。

32、不能改变系统的动量和动量矩 ， 应用时只需考 虑质点系所受的外力；动能定理是标量形式 ， 在很 多问题中约束反力不作功 ， 因而应用它分析系统速 度变化是比较方便的 。
但应注意 ， 在有些情况下质 点系的内力也要作功 ， 应用时要具体分析 。
第51页/共74页 动力学普遍定理综合应用有两方面含义：其一， 对一个问题可用不同的定理求解；其二 ， 对一个 问题需用几个定理才能求解 。
下面就只用一个定理就能求解的题目 ， 如何选 择定理 ， 说明如下： (1 )与路程有关的问题用动能定理 ， 与时间有关 的问题用动量定理或动量矩定理 。
(2 )已知主动力求质点系的运动用动能定理 ， 已 知质点系的运动求约束反力用动量定理或质心运动 定理或动 。

33、量矩定理 。
已知外力求质点系质心运动用 质心运动定理 。
第52页/共74页 (3) 如果问题是要求速度或角速度 ， 则要视已知 条件而定 。
若质点系所受外力的主矢为零或在某轴 上的投影为零 ， 则可用动量守恒定律求解 。
若质点 系所受外力对某固定轴的矩的代数和为零 ， 则可用 对该轴动量矩守恒定律求解 。
若质点系仅受有势力 的作用或非有势力不作功 ， 则用机械能守恒定律求 解 。
若作用在质点系上的非有势力作功 ， 则用动能 定理求解 。
(4) 如果问题是要求加速度或角加速度 ， 可用动 能定理求出速度(或角速度)， 然后再对时间求导 ，求出加速度(或角加速度)。
第53页/共74页 (5) 对于定轴转动问题 ， 可用定轴转动的微 。

34、分方 程求解 。
对于刚体的平面运动问题 ， 可用平面运动 微分方程求解 。
有时一个问题 ， 几个定理都可以求解 ， 此时可 选择最合适的定理 ， 用最简单的方法求解 。
对于复 杂的动力学问题 ， 不外乎是上述几种情况的组合 ，可以根据各定理的特点联合应用 。
下面举例说明 。
第54页/共74页 例14 如图 ， 均质杆质量为m ， 长为l ， 可绕距端点l/3的转轴O转动 ， 求杆由水平位置静止开始转动到任一位置时的角速度、角加速度以及轴承O的约束反力 。
解：本题已知主动力求运动和约束反力 。
0 1 T 杆作定轴转动 ， 转动到任一位置时的动能为 22222 2 18 1 ) 32 ( 12 1 2 1 2 1 ml ll mmlJT O。

35、在此过程中所有的力所作的功为 jsin 6 1 12 mglmghW j C O mg 解法1：用动能定理求运动 以杆为研究对象 。
由于杆由水平位置静止开始运动 ， 故开始的动能为零 ， 即 第55页/共74页 22 11 0sin 186 mlmglj 由 2112 TTW 得 2 3 sin g l j 将前式两边对时间求导 ， 得 d3d 2cos dd g tlt j j 3 cos 2 g l aj 3 sin g l j j C O mg 第56页/共74页 解法2：用微分方程求运动 C O() OO JMa F mg 由定轴转动微分方程 00 3 dcosd 2 g l j j j 即 j j 。

36、 00 2 sin 2 3 2 1 l g 所以 jsin 3 l g 2 1 cos 96 l mlmgaj 得 3 cos 2 g l aj 即 dddd ddddtt j a jj 又 d3 cos d2 g l j j 所以 FOy FOx a 第57页/共74页 j C O a x y aCx aCy 现在求约束反力 。
tn2 3 cossin(1 3sin) 4 CyCC g aaajjj tn 3 sincossincos 4 CxCC g aaajjjj 质心加速度有切向和法向分量： at C an C t cos 4 C g aOCaj n2 sin 2 C g aOCj 将 。

37、其向直角坐标轴上投影得： 第58页/共74页 C O mg x y aCx aCy FOy FOx 2 3 (1 3sin) 4 Oy mg Fmgj 3 sincos 4 Ox mg Fjj 由质心运动定理 得： 解得： 3 sin2 8 Ox mg Fj 2 (1 9sin) 4 Oy mg Fj , CxxCyy maFmaF 第59页/共74页 B A 例15 物块A和B的质量分别为m1、m2 ， 且 m1m2， 分别系在绳索的两端 ， 绳跨过一定滑轮 ， 如图 。
滑轮的质量为m ， 并可看成是半径为r的均质圆盘 。
假设不计绳的质量和轴承摩擦 ， 绳与滑轮之间无相对滑动 ， 试求物块A的加速度和轴承O的约束反力 。
。

38、 解一：取单个物体为研究对象 。
分别以物块A、B和滑轮为研究对象 ， 受力如图 。
分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程 ， 得 21 ()(3) 2 AB mrFF ra m1g FA a m2g FB a A B O r 11 (1) A m am gF 22 (2) B m aFm g 0(4) Ox F 0(5) OyAB FFFmg FB FA FOx FOy O mg a 第60页/共74页 ara 由以上方程联立求解得： 12 12 2() 2() mm ag mmm 0 Ox F 2 12 12 12 2() () 2() Oy mm Fmmm gg mmm 注意到 第61页/共74页。

39、解二：用动能定理和质心运动定理 。
解：以整个系统为研究对象 ， 受力如图 ， 运动分析如图 。
系统动能为 2222 1 122 2 12 111 ()( ) 222 1 (22) 4 v Tmvm vmr r mmm v 所有力的元功的代数和为 1212 () d()d i Wmm gsmm gv t 1212 1 (22) d()d 2 mmm v vmm gv t 于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg 由微分形式的动能定理得 12 12 2() 2() mm ag mmm 12 1 d(22) d 2 Tmmm v v 第62页/共74页 1212 ()() CyOy。

40、mmm aFmmm g 由质心坐标公式 12 12 Cy mm aa mmm 于是可得 2 12 12 12 2() () 2() Oy mm Fmmm gg mmm B A m1g v m2g v FOx FOy O mg 由 得 , CxxCyy maFmaF 12 12 iiABO C i m ym ym ymy y mmmm 第63页/共74页 解三：用动量矩定理和质心运动定理(或动量定理) 。
解：以整个系统为研究对象 ， 受力如图 ， 运动分析如图 。
系统对定轴的动量矩为 2 12 12 1 () 2 1 (22) 2 O Lmvrm vrmr mmm vr 1212 d 1 (22)() 2 。

41、 d v mmm rmm gr t 然后按解二的方法即可求得轴承O的约束反力 。
B A m1g a m2g a FOx FOy O mg e 由 得d () d OO LM t F 12 12 2()d d2() mmv ag tmmm 第64页/共74页 例17 均质细杆长为l ， 质量为m ， 静止直立于光滑水平面上 。
当杆受微小干扰而倒下时 ， 求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力 。
解：由于地面光滑 ， 直杆沿水平方向不受力 ， 倒下过程中质心将铅直下落 。
杆运动到任一位置 (与水平方向夹角为 )时的角速度为 2 cos CC vv CPl 此时杆的动能为 2 2 22 ) cos3 1 1 ( 2 1 2 。

42、 1 2 1 CCC vmJmvT 初动能为零 ， 此过程只有重力作功 ， 由 )sin1 ( 2 ) cos3 1 1 ( 2 1 2 2 l mgvm C 当0时解出 glvC3 2 1 l g3 2112 TTW P A C vC vA 第65页/共74页 杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示 ， 由刚体平面运动微分方程 ， 得 (1) AC mgFma 2 1 (2) 212 AC l FJmlee 杆作平面运动 ， 以A为基点 ， 则C点的加速度为 tn CACACA aaaa 沿铅垂方向投影 ， 得 t (3) 2 CCA l aaa 联立求解方程(1)(3) ， 得 1 4 A Fmg A C a aC mg。

43、FA A C aC a an CA aA at CA 第66页/共74页 O D (b) 例18 图示三棱柱体ABC的质量为m1 ， 放在光滑的水平面上 ， 可以无摩擦地滑动 。
质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动 。
如斜面的倾角为 ， 求三棱柱体的加速度 。
A C B O vr D av ve vD vOD vD a 解：整体系统在水平方向上受力为零 ， 所以系统的动量在水平方向上守恒 。
设某瞬时三棱柱的速度是v ， 圆柱体的角速度是 。
求圆柱体的动量需要用O点的绝对速度 ，该速度可用两种方法求得： 基点法：取圆柱体与三棱柱的接触点D为基点 ， 分析圆柱体中心O点的速度 ， 如图(b)所示 , ODODDO 。

44、D vv vrvvv 复合运动法：取圆柱体中心O为动点 ， 动系与三棱柱固连 ， 则O点的速度分析如图(a)所示 , aerer vv vrvvv (a) cos Ox vvr cos Ox vvr x y 第67页/共74页 a ar ae m2g FS FN O D 0112 0,(cos ) xx ppmvmvr 由动量守恒定理: 1012( cos )0 xx ppmvmvr 两边对时间t求导得 122 ()cos0(*)mm am ra 欲求a需先求出a ， 取圆柱体分析如图(c)所示 ， 由平面运动微分方程得 () OO JMa F 2 2 1 2 S m rF ra 从中解出 2 cos2 si 。

45、n 3 ag r a 2 2 122 sin2 32sin m g a mmm 求出系统动量的水平分量： 22 ()sincos S mmragFa 2Oxx m aF x y 代入(*)式得 cos cos Oxre aaa ra a 第68页/共74页 力的功率力所作之功对时间的变化率 vF tt W P d vF r F d d d 力的功率等于切向力与其作用点速度的标积 。
jd M dt d M t W P d 作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于 力矩或力偶矩与刚体转动角速度的标积 。
第69页/共74页 质点系动能定理的微分形 式 i i WTdd 等式两边同除以dt i i i 。

46、 i P t W t T d d d d 质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有 有功力的功率之代数和 。
功率方程 无用有用输入 PPP t T d d 输入 P 有用 P 无用 P 输入功率 有用功率 ， 输出功率 无用功率 ， 损耗功率 第70页/共74页 输入功率输入功率 有效功率有效功率 dt dT P 有用 有效功率有效功率 系统的总效 率 第71页/共74页 例 19 车床电动机的功率P输入5.4 kW。
传动零件之间的磨擦 损耗功率为输入功率的30。
工件的直径d100 mm 。
求：转 速n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切削力 。
解：车床正常工作时 ， 工件匀速旋转 ， 动能无变 化 0 d d t T 无用输入有用 PPP kW45. 输入 PkW62130.% 输入无用 PP kW783. 无用输入有用 PPP 切削力F 与工件在切削力作用点的速度v 同向 30 2 nd FFvPvF 有用有用 P dn F 60 第72页/共74页 切削力F 与工件在切削力作用点的速度v 同 向 30 2 nd FFvPvF 有用有用 P dn F 60 当 n = 42 r/min 时 kN1917783 420.1 60 . F 当 n = 112 r/min 时 kN456783 2110.1 60 . F 第73页/共74页。

稿源：(未知)

【傻大方】网址：/a/2021/0819/0023818234.html

标题：理论|理论力学18—动能定理PPT学习教案