傻大方摘要：【系统|系统辨识习题解答|辨识|习题|解答】提示： MA 模型 z(k)= Dzl)u(k)定义 G = d,/,d”,(灯=u(k),锹一 1),，锹一 /I)解：因为MA模型z(k)=D(Z-l)u(k)f其中D(zT) = d+d忆t+比Zl 从而所以当定义& = 0，/厂赵,力(灯=伙),伙-1)厂7心-),则有最小二乘格式：...

1、系统辨识习题解答1- 14.若一个过程的输入、输出关系可以用MA模型描述 ， 请将该过程的输入输出模型写成最小二乘格式 。
提示： MA 模型 z(k)= Dzl)u(k)定义 G = d,/,d”,(灯=u(k),锹一 1), ， 锹一 /I)解：因为MA模型z(k)=D(Z-l)u(k)f其中D(zT) = d+d忆t+比Zl 从而所以当定义& = 0 ， /厂赵,力(灯=伙),伙-1)厂7心-),则有最小二乘格式：Z伙)=丈人伙)+w伙)=h伙)& +w伙) ， 7=0其中e(k)是误差项 。
2- 3、设伙)是一个平稳的有色噪声序列 ， 为了考虑这种噪声对辨识的影响 ， 需要用一种模型来描述它 。
请解释如何用白噪声和表 。

2、示定理把伙)表示成AR模型、MA模型和ARMA 模型 。
解：根据表示定理 ， 在一定条件下 ， 有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环 节的输出 ， 该线性环节称为成形滤波器 ， 其脉冲传递函数可写成即C(zT)“) = DQT)咻)其中C(h ) = 1 + c忆t + %广根据其结构 ， 噪声模型可区分为以下三类：自回归模型(AR模型)：C01)锹)=(灯平均滑动模型(MA模型)：e(k) =)v(k)自回归平均滑去模型(ARMA模型)：C01)粼)=DQv(k)3- 4、根据离散Wiener-Hopf方程 ， 证明解：由于M序列是循环周期为皿,Np=2P, d为M序列移位脉冲周期 ， 自相关函数 近似 。

3、于5函数 ， d为M序列的幅度 。
设数据的采样时间等于 ， 则离散Wiener-Hopf 方程为：当M序列的循环周期心/大于过程的过渡过程时间时 ， 即心充分大时 ， 离散 Wiener-Hopf方程可写成：由于M序列的自相关函数为k = 0、Np,2NpkZNp,2Np,代入上式得4-证明：(1) P(k)h(k) = P(k -1)伙)1 + 护(k)P(k -1)伙)/1 伙)厂(2) P(k - l)h(k) = P(k)h(k)l - hT(k)P(k)h(k)A(k)i ,(3) hT(k)P(k)h(k) = hT(k)P(k - l)h(k)l + hT(k)P(k -1)伙)4(約广 ， (4)。

4、hT(k)P(k - l)h(k) = hT(k)P(k)h(k)l- hT(k)P(k)h(k)A(k)l, 解：(1)由于P(jfc) = /- K(k)hT 伙)P 伙-1)K(k) = P(k - l)h(k)hr (k)Pk - l)h(k) + A-1 ()-1所以(2) 由于P(k)h(k) = P(k -1)力伙)1 + hTk)P(k - l)h(k)A(k)l,及(3) 由于P(k)h(k) = P(k -1)伙)1 + 护(k)P(k - 1)%伙)4(灯厂,所以(4) 由于P(k - 1)方伙)=P(k)h(k)l - hT (k)P(k)h(k)A(灯厂,所以4一18 。

5、、考虑如下模型其屮 ， u(Q和z(力是模型的输入输出变量 ， 只力是零均值白噪声 。
定义参数向量 请利用增广最小二乘思想 ， 写出模型参数&的递推辨识算法 。
解：令hf(k) = -zf伙-1),-“伙-化) ， 竹伙-1), ， 竹伙- )伙-1)厂伙-心) 及S r竹=, ， 久 ， ,如a ， 则模型化成最小二乘格式：zf(k = hTf(k)6f +咻)人门1 门、口 he(k) = -e(k-l), - -e(k-nc)% ) 二,则噪声模型也化成最小二乘格式：e(k) = hk)0. + v(k)数据向量he (k)包含着不可测的噪声量 ， 这可用相应的估计值代替：A甘小e(Z:) = Oj 0;
其屮 ， AAe(k)=z 。

6、(k)-lr(k)Of(k)则可写出利用增广最小二乘法得到的递推算法：0可表示成：4-19.考虑如下模型其中 ， “(Q和2(力分别为模型的输入和输出变量 ， 它们是可测的；只力是零均值白噪声, 它是不可测的 。
试从Markov估计概念出发 ， 证明该模型的参数向量& =厶,bj的估计值8可以写成如下加权最小二乘算法的形式式中 ， 为数据矩阵 ， Zz为输出向量 ， 加权矩阵取A1=Xcrc ， 其中矩阵Q为b；解:令及则模型化成最小二乘格式：5(幻=力；(幻& +卩伙)准则函数取丿A(灯“(灯-h,(陽F ， 其中4(灯为加权因子 ， 对所有的4(灯都 k=l必须大于零 。
式中W)rhj(l) 一分(0)一 (17)U f (0) 。

7、|仃(1一)ha =h/(2)=-Z/(l)-Z/2-/0 Mz(l) f(2-町 . . h/(D-Zf(L-l)-zf(L-n) uf(L-l)uf(L-n)vL=v(l)/ -,V(L)T对于R = l,2,丄(Z为数据长度) ， 可以构成线性方程组zfL=Hfl0 + vL则丿(&) = (%-H/)F(%-H“0),式中人为加权矩阵 ， 它是正定的对角阵 ， 由加权 因子4伙)构成A(l) 0 Al =0A(2)00A(设&vls使得J(9)最小 ， 则有:从而：屁US ， 当HAJl几是正则矩阵时 ， 模型的加权最小二乘解为&vls = (HAH)ft 由于 H几=C)Hl ， Sl=C(zT)s ， 所以由 M 。

【系统|系统辨识习题解答】8、arkov 估计 ， Ev = CovvL = EvLvLr = rv2(CrC)_1,其中矩阵 G为取加权阵八乙=Z；1 = -UcrC oP532/4：解：(1)由参数估计值偏差的估计式：我们有：力r (k +1)3 (k +1)=沪伙)Z - h 伙)X (k)RT k) Z - R(k)h(k )h伙)0 伙)(A)=戶伙)Z-用伙)h(k)lf(k)(灯由于hg,仏为独立同分布 ， 均值为零的不相关随机变量 ， 因此有: 对(A)式两边求期望值 ， 我们有： 邮仗+ 1)=(1-土*惋)(B)由此递归式子 ， 可得：H网)=(1 一士”伙0)(2)由指标的估计式:啾)=21n71In 1- I N,将初值(0) = 0和(B)式代入 ， 两边取对数 ， 有：kx =证毕 。
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标题：系统|系统辨识习题解答