傻大方摘要：【构造|构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围|斜率|成立|问题|参数|范围】一、一道高考题的两种解法 【2012全国大纲卷理科第20题】设函数f（x）=ax+cosx， x0， （1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）1+sinx，求a的取值范围。 解：（1）略 解法1：ax+cosx1+sinx，x...

1、构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围在各省市的高考题中 ， 常将导数作为压轴题的考查对象 ， 而导数中多涉及不等式的恒成立的证明或求解问题 ， 本文以解决不等式恒成立问题的两种方法比较为突破点 ， 发现一类恒成立问题 ， 采用构造动函数分类讨论往往很困难 ， 但若巧妙地构造斜率可以有效地降低题目的思维量和运算量 ， 达到事半功倍的效果 。
一、一道高考题的两种解法 【2012全国大纲卷理科第20题】设函数f（x）=ax+cosx ，x0 ，（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）1+sinx ， 求a的取值范围 。
解：（1）略 解法1：ax+cosx1+sinx ， x0 ， 等价转换为ax+cosx-1-sinx0 ，令g（x） 。

2、=ax+cosx-1-sinx ， 要使g（x）0成立 ， 只需使gmax（x）0 g （x）=a-cosx-sinx=a- sin（x+ ） ，x0 ，sin（x+ ）-1 ，当a 时 ， g （x）0 ， g（x）在x0 ， 上单调递增 ，gmax（x）=g（）=a-20 即a， 所以a？准 当a-1时 ， g （x）0 ， g（x）在x0 ， 上单调递减 ， gmax（x）=g（0）=00 即aR ， 所以a-1 当-1 g（x）单调递减 ， x（x0 ， g （x）0 ， g（x）单调递增 。
所以gmax（x）为g（0）和g（）的最大值 。
g（0）0g（）0得a， 所以-1 当-1a0 ， g（x）单调递增 ， 因为g（0）=0 ， ？埚x30 ， x1 。

【构造|构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围】3、）使g（x3）g（0）=0 所以1a0时 ， 令g（x）=， 问题等价变换为a =k ，其中k为函数图象上点（x ， g（x）与点（0 ， g（0）连线的斜率 。
下面考查g（x）= 的函数性质 。
g（x）=， g （x）= 0 在（0 ，上g（x）为上凸的单调递增函数 ， 在， 上g（x）为上凸的单调递减函数 。
故k为单调递减的函数 。
所以k（x）h （1）=20 所以h（x）在（0 ， 1）上是上凸的单调递增函数 ， 故k为单调递减的函数 。
所以k（x） k（x） ， 其中 k（x）为函数在点（1 ， h（1）处切线的斜率 。
k（x）=h （0）=2 k（x）2 ， - k 综上所述a的取值范围是a-1 ， 0） 。
3.代换转化型 。

4、： 例3.【2011年高考全国新课标卷理科21】 已知函数f（x）= +， 曲线y=f（x）在点（1 ， f（1）处的切线方程为x+2y-3=0 。
（1）求a、b的值； （2）如果当x0 ， 且x1时 ， f（x） +， 求k的取值范围 。
解：（1）a=b=1 （2）当x0 ， 且x1时 ， f（x） + 等价变换为k， 设p（t）= lnt ， 则1-k = =m 其中m为函数图象上点（t ， p（t）与点（1 ， p（1）连线的斜率 。
以下考查p（t）= lnt的函数性质 。
p（t）= （lnt+2） ， p （t）=- lnt p（t） ， p （t） ， p （t）在区间（0 ， +）上的情况如下： 所以p（t）在（0 ，）上为下凸 。

5、的递减函数 ， 在（， 1）上为下凸的递增函数 ， 在（0 ， +）上为上凸的递增函数 ， 即m值先增大再减小 ， 在t=1时取最大值 。
所以m（t） m（t） ， 其中 m（t）为函数在点（1 ， p（1）处切线的斜率 。
m（t）=p（1）=1m1 ， 1-k1所以k的取值范围为k0 。
综上所述a的取值范围是k0 。
三、教学反思 在高中数学中 ， 有关函数和不等式的问题 ， 学生大多数想到就是构造函数 ， 通过求导证明单调性来研究问题 。
经过多年的训练 ， 学生已经形成了思维定势 ， 很难有新的突破 。
其实跳出固有思维 ， 利用函数图象直观地理解问题 ， 抓住问题的本质 ， 往往可达到柳暗花明的效果 。
导数的本质是斜率的极限 ， 从这个意义上来说 ， 斜率更是至关重要 。
参考文献： 熊欣 ， 徐章韬.拉格朗日中值定理的初等化应用J.数学通讯 ， 2012（07）.第 4 页 共 4 页 。

稿源：(未知)

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标题：构造|构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围