1、西南财经大学天府学院 全全 微微 分分 一、增量定理 二、全微分 西南财经大学天府学院 ),( ),(),( limlim 00 0000 00 yxf x yxfyxxf x z x x x x ),( ),(),( limlim 00 0000 00 yxf y yxfyyxf y z y y y y 100 ),( yxf x z x x 200 ),( yxf y z y y . 0lim, 0lim, 2 0 1 0 21 yx 满足满足其中其中 , ),( 100 xxyxfz xx , ),( 200 yyyxfz yy 西南财经大学天府学院 如果函数如果函数),(yxfz 在点 。

2、在点 ),( 000 yxP 的某邻域内的某邻域内 有定义 ， 并设有定义 ， 并设 ),( 00 yyxxP 为这邻域内的任意一为这邻域内的任意一 点 ， 则称这两点的函数值之差点 ， 则称这两点的函数值之差 ),(),( 0000 yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P 对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增 量 ， 记为量 ， 记为 z， 即 ， 即 ),(),( 0000 yxfyyxxfz 全增量的概念全增量的概念 西南财经大学天府学院 ),(yxfz z x y O ),( 000 yxP ),( 00 yyxxP ),( 00 yxxA 1 M 2 M z 1 z 2 0 M B C 西南 。

3、财经大学天府学院 定理定理 1 1（增量定理）（增量定理） 如果函数如果函数),(yxfz 的一阶偏导数的一阶偏导数 在包含点在包含点 ),( 000 yxP 的整个开区域的整个开区域 D 内存在 ， 并且内存在 ， 并且 ),(yxf x 和和 ),(yxf y在点在点 ),( 000 yxP 处连续 ， 那么函数处连续 ， 那么函数),(yxfz 的的 值 当 从值 当 从D内 的 点内 的 点 ),( 000 yxP 移 动 到 另 外 一 点移 动 到 另 外 一 点 ),( 00 yyxxP 时的改变量时的改变量 ),(),( 0000 yxfyyxxfz 满足等式满足等式 yxyyxfxyxfz。

4、yx 210000 ),(),( 其中当其中当 0, 0yx 时 ， 时 ，0, 0 21。
一、增量定理 西南财经大学天府学院 二、全微分 定义定义：如果函数如果函数),(yxfz 在点在点 ),( 000 yxP 的偏导数的偏导数 ),( 00 yxf x和和 ),( 00 yxf y存在 ， 并且满足存在 ， 并且满足 yxyyxfxyxfz yx 210000 ),(),( 其中当其中当 0, 0yx 时 ， 时 ，0, 0 21。
那么函数 。
那么函数 ),(yxf 在点在点 ),( 000 yxP 是是可微可微分的 。
如果分的 。
如果 ),(yxf 在定义域中的每个在定义域中的每个 点都是可微分的 ， 就 。

5、称点都是可微分的 ， 就称 ),(yxf 是是可微可微分的 。
称分的 。
称 yyxfxyxf yx ),(),( 0000 是是 ),(yxf 在点在点 ),( 000 yxP 处的处的全微分全微分 ， 记作 ， 记作 yyxfxyxfdz yx ),(),( 0000。
西南财经大学天府学院 在在上上述述定定义义中中 ， 其其中中当当 0, 0yx 时时 ，0, 0 21 , 于于是是 ， 如如果果令令 22 )()(yx， 那那么么 0 )0,0(),( 21 yx yx。
关于可微分的说明：关于可微分的说明： 所以 ， 所以 ，yx 21 也可以也可以写写成成 )(。
西南财经大学天府学院 一元函数在某点的导 。

6、数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在 多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在 例如 ， 例如 ， . 00 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在点在点)0 , 0(处有处有 0)0 , 0()0 , 0( yx ff 西南财经大学天府学院 )0 , 0()0 , 0(yfxfz yx , )()( 22 yx yx 如果考虑点如果考虑点 ),( 1 yxP沿着直线沿着直线xy 趋近于趋近于)0 , 0( ，则则 22 )()(yx yx 22 )()(xx xx , 2 1 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当。

7、时 ， 时 ，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfz yx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微. 西南财经大学天府学院 定理定理 2 2 如果函数如果函数),(yxfz 的一阶偏导数的一阶偏导数 ),(yxf x和和 ),(yxf y在区域在区域 D 上连续 ， 那么函数上连续 ， 那么函数),(yxfz 在在 D 上上 可微分 。
可微分 。
定定理理 3 3 如如果果函函数数),(yxfz 在在 ),( 00 yx 点点可可微微分分 ， 那那么么 函函数数),(yxfz 在在 ),( 00 yx 点点连连续续 。
西南财经大学天府学院 习惯上 ， 记全微分为习惯上 ， 记全微分为.dy y z dx 。

8、 x z dz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 .dz z u dy y u dx x u du 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况 西南财经大学天府学院 例例 1 1 计算函数计算函数 xy ez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分. 解解 , xy ye x z , xy xe y z , 2 )1 ,2( e x z ,2 2 )1 ,2( e y 。

【第4讲|第4讲 全微分及其应用】9、 z .2 22 dyedxedz 所求全微分所求全微分 西南财经大学天府学院 例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz， 当 ， 当 4 x ，y ，4 dx ，dy时的全微分时的全微分. 解解),2sin(yxy x z ),2sin(2)2cos(yxyyx y z dy y z dx x z dz ), 4 ( ), 4 ( ), 4 ( ).74( 8 2 西南财经大学天府学院 例例 3 3 计计算算函函数数 yz e y xu 2 sin的的全全微微分分. 解解 , 1 x u , 2 cos 2 1 yz ze y y u , yz ye z u 所求全微分所求全微分 .) 2 。

10、 cos 2 1 (dzyedyze y dxdu yzyz 西南财经大学天府学院 例例 4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0 )0 , 0(),(, 1 sin ),( 22 yx yx yx xy yxf在在 点点)0 , 0(连续且偏导数存在 ， 但偏导数在点连续且偏导数存在 ， 但偏导数在点)0 , 0( 不连续 ， 而不连续 ， 而f在点在点)0 , 0(可微可微. 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx ， )0 , 0(),( yx讨论讨论. 西南财经大学天府学院 证证 当当 ,0, 0时时yx 则则 22 )0,0(), 。

11、( 1 sinlim yx xy yx 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0( x f x fxf x )0 , 0()0 ,( lim 0 , 0 00 lim 0 x x 同理同理. 0)0 , 0( y f , 0 xy . 1 sin 22 有界有界 yx 西南财经大学天府学院 当当)0 , 0(),( yx时 ， 时 ，),(yxf x , 1 cos )( 1 sin 22322 2 22 yxyx yx yx y 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时, ),(lim )0,0(),( yxf x xx , |2 。

12、 1 cos |22|2 1 sinlim 3 3 0 xx x x x x 不存在不存在. 西南财经大学天府学院 所以所以),(yxf x 在在)0 , 0(不连续不连续. 同理可证同理可证),(yxf y 在在)0 , 0(不连续不连续. )0 , 0(),(fyxff 22 )()( 1 sin yx yx )()( 22 yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0 )0,0( df 西南财经大学天府学院 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续 函数可导函数可导 西南财经大学天府学院 全微分 。

13、在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用 都较小时 ， 有近似等式都较小时 ， 有近似等式 连续 ， 且连续 ， 且个偏导数个偏导数 的两的两在点在点当二元函数当二元函数 yxyxfyxf yxPyxfz yx ,),(),( ),(),( .),(),(yyxfxyxfdzz yx 也可写成也可写成 .),(),(),( ),( yyxfxyxfyxf yyxxf yx 西南财经大学天府学院 例例 5 5 计算计算 02. 2 )04. 1(的近似值的近似值. 解解 .),( y xyxf 设函数设函数 .02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取 , 1)2 , 1( f ,),( 1 y x y 。

14、xyxf,ln),(xxyxf y y , 2)2 , 1( x f , 0)2 , 1( y f 由公式得由公式得 02. 0004. 021)04. 1( 02. 2 .08. 1 西南财经大学天府学院 多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念； 多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法； 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系 （注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别） 三、小结 西南财经大学天府学院 四、作业 西南财经大学天府学院 函数函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是: （1）),(yxf在点 。

15、在点),( 00 yx处连续；处连续； （2）),(yxf x 、),(yxf y 在点在点),( 00 yx的的 某邻域存在；某邻域存在； （3）yyxfxyxfz yx ),(),( ，当当0)()( 22 yx时是无穷小量；时是无穷小量； （4） 22 )()( ),(),( yx yyxfxyxfz yx , 当当0)()( 22 yx时是无穷小量时是无穷小量. 思考题思考题 西南财经大学天府学院 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 设设 x y ez , ,则则 x z _； y z _； dz_._. 2 2、 若若)ln( 222 zyxu , ,则则 du_._. 3 3、 。

16、 若函数若函数 x y z , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, , 函数的全增量函数的全增量 z_;
_;
全微分全微分 dz_._. 4 4、 若 函 数若 函 数 y x xyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 z x _;
_;
x z x x0 lim _. _. 练练 习习 题题 西南财经大学天府学院 二、二、 求函数求函数)1ln( 22 yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. . 三、三、 计算计算 33 )97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. . 四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁 。

17、与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为 cm1 . 0 ， 内高为 ， 内高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体 积的近似值积的近似值. . 五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和 m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为 0 160 . .试求三角形面积试求三角形面积 的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. . 六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相 对对误误差差之之和和;
;
商商的的相相对对误误差差等等于 。

18、于被被除除数数及及除除数数的的相相 对对误误差差之之和和. . 西南财经大学天府学院 七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,0 0, 1 sin)( 22 22 22 22 yx yx yx yx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. . 西南财经大学天府学院 一、一、1 1、)( 1 , 1 , 2 dydx x y e x e x e x y x y x y x y ； 2 2、 222 )(2 zyx zdzydyxdx ； 3 3、-0.119,-0.125-0.119,-0.125； 4 4、 y yx y y 1 ,) 1 ( . . 二、二、dydx 3 2 3 1 . . 三、三、2.95. 2.95. 四、四、 3 cm3 .55. . 五、五、%.30. 1 ,m6 .27,m2128 22 七、七、),(),(yxfyxf yx 在在)0 , 0(处均不连续处均不连续, , ),(yxf在点在点(0,0)(0,0)处可微处可微. . 练习题答案练习题答案。

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标题：第4讲|第4讲 全微分及其应用