数学印象与数学思维｜惰者集：数感与数学( 三 ) _数学思维

“他的手法真如行云流水，凿刀所到之处，居然都自然地雕琢出了内心所想的眉毛、鼻子样子。”我感慨至极，不禁自言自语道。
结果，方才那位年轻男子回应道：
“什么呀，那可不是凿刻出的眉毛、鼻子，而是眉毛、鼻子本来就埋藏在木头中，他只是用锤子、凿子将其呈现出来。就像从泥土中挖出石头一样，当然不会出现偏差。”
在这种时刻，我常常感到世间没有比数学更容易的学科了。如果遇到一些学生在犹豫将来是否从事数学方面的工作，我就会想建议他们“一定要选数学，因为再没有比数学更容易的学科了” 。
漱石的故事后续如下：
这时，我恍然大悟，原来这就是雕刻艺术。这样的话，好像谁都可以做这个。想到这里，我突然也有了想要雕刻一座金刚手菩萨像的念头，于是回到家中，从后院里堆积的木柴中选了一块木头，开始动手雕琢。然而事与愿违，虽凿刻良久，木头中却仍然寻不到金刚手菩萨的踪影。我突然醒悟，明治时期的木头里根本就不会藏有金刚手菩萨。
数学也一样，普通的木头里没有埋藏着定理。不过，仅仅从外表观察，并看不出里面究竟埋着什么，所以只好尝试雕刻看看。数学中的雕刻就是繁琐的计算与查阅文献，绝不是什么简单的事情，而且在大多数情况下，都会竹篮打水一场空。因此数学研究非常耗时，而且我觉得运气也是一个影响研究成败的重要因素。
定理与应用现今的数学，通过具体事实的归纳来猜想定理极其困难，不仅如此，定理与具体事实的关系也在发生变化。在大学低年级的数学中，定理之所以是定理，是因为其可应用于许多事实中，没有应用的定理则多没有意义。好的定理可以说就是应用广泛的定理。从这个意义上来说，函数论的柯西积分定理是最好的数学定理之一。但是在最近的数学中，几乎很少看到拥有广泛应用性的定理。岂止如此，许多定理几乎毫无应用性可言。正如某君不客气地评价：“现代数学只有两种，有定理却没有应用实例的数学与只有应用实例却没有定理的数学。”从现代数学的立场出发，“不管有没有应用，好的定理就是好的定理”，不过我却总觉得没有应用的定理多少还是有点儿美中不足。
数学的唯一理解方法即使不做研究，只是阅读有关数学的书和论文，也非常费时。如果只读定理部分而跳过证明过程的话，似乎很快就能读完两三本书。但是实际上，跳过证明的阅读方式如浮光掠影，留下的印象非常浅，结果多会一无所得。想要理解数学书，只能一步一步遵循证明过程。数学的证明不是单纯的论证，还具有思考实验的意味。所谓理解证明，也不是确认论证中是否有错误，而是自己尝试重现思考实验的过程。换言之，理解也可以说是自身的体验。不可思议的是，除此之外数学没有其他的理解方法。物理学的话，即便是最新的基本粒子理论，只要阅读通俗读物，尽管读者与专家的理解方法不同，多少还是能大致理解或者至少自己觉得好像理解了。这就是外行人的理解方法，它与专家的理解方法不同。但是数学不存在外行人的理解方法，所以没人可以写出关于数学最近成果的通俗读物。