数学家证明了低维度空间的一些对称性质不存在( 二 ) _数学家

早在二十世纪，数学家们便在许多的领域中发现对称性质，不仅在几何学，还有数论领域，逻辑学和计算机科学。当新的一个新群被发现以后，我们就自然而然地会问到——一个怎样的空间会对应这个群描述的对称？
有时候是非常明显的，一些群不能应用到特定的空间中去。比如，我们就很快知道圆的对称群不能应用到正方形中。就比如说，如果将正方形旋转10°，你就不能得到原来的那个正方形了。但是如果在一个有无数个对称轴的群中和一个有多重维度的空间里进行研究，我们很难确定哪些群的元素对应着空间的变换，而哪一些则不是。
齐默说：“由于在高维度的情况下，你由此得到的群会愈发复杂，问题的解决也就变得更加困难。”
松散的联系
当我们分析对称性的时候，我们所想象到的是，整个图形正在进行旋转，就像一个正方形按顺时针方向转90° 。在一个比较微观的层级中去观察，对称性与点的运动有密切的联系。按对称性将空间进行变换意味着将空间上的每一个点移动到空间的另外一处。在这种视角下，将正方形顺时针旋转90°的真正意义是：考虑正方形上的每一个点，然后将它顺时针旋转90°，这样每个点就移动到了新的边上，这些点最终出现在与初始位置不同的边上。
或多或少的，我们都是用刚性的方式来进行移动。最熟悉的一些对称操作——通过对角线进行镜面变换，或者旋转90°——都非常刚性的。他们之所以刚性的是因为他们并没有对点进行扭曲。镜面变换前在顶角上的点在变换以后还是顶角上的点（只不过是不同的顶角），镜面变换前在边上的点在变换以后还是边上的点（只不过是不同的边上）。
但是，在实际上，还有很多更为灵活的对称变换类型，这也是齐默猜想所感兴趣的地方。在这些变换中，点会被最大限度的重组；他们在变换的过程当中不会完全遵循他们在变换前的位置关系。例如你可以将正方形的每一个点都围绕着移动三个单位——这还是满足了一个对称变换的基本要求，它将空间上的每一个点都移动到了新的位置。新证明的合作者艾伦·布朗借助球的模型来解释这种不受约束的变换方式。
布朗称：“你可以试着将球的南北两极向相反方向拉扯，球上的距离和点之间的距离会加大。”
当你在讨论一个网格时，除了平移平面中的网格，你还可以对网格进行扭曲，或者在某些地方进行扭曲，而在其他地方进行拉伸，这就使得转换后的网格不再与原来的网格完全重合。这些变换就没有那么刚性了，他们被称之为微分同胚。

文章插图

在他的猜想当中，齐默有非常好的理由认为这种更为柔性的变换是有意义的。在20世纪60年代，格里戈里·马尔古利斯(Grigory Margulis)对在齐默的猜想当中涉及的这种高维格进行了研究。马尔古利斯也因为这项工作由此获得了菲尔兹奖。当要求只进行刚性的变换时，哪些空间可以由这些高维格转换而来，马尔古利斯给出了这种空间所有满足的条件。
因此，齐默猜想是对马尔古利斯研究的自然延伸。他便是开始于高维格架构变换得以实现的空间——马尔古利斯所找到的空间——并持续深入探讨如果允许不那么刚性的变换，也就是在放宽变换的条件之后，这个集合是否会进一步扩张。
在他们新的研究当中，三位数学家们证明了当高维格的放宽对对称性的定义以后，广义的对称性特征并没有本质变化。即使格进行不规则的空间变换时——比如剪切、弯曲、拉伸——高维格仍然被限制在它们所在的空间中。
费希尔说：“由于在这个问题上加了那么多的灵活性之后，你就有了一种直观的感受，这些高维格群能作用于任何空间上。所以，我们很惊讶的发现，答案是不对的。在某种情况下，他们不能作用于任何空间上。”
这几位数学家们在空间的维度和能作用在其上的高维格维度（或秩）之间建立了联系。他们证明了在通常情况下格的维度越高，空间的维度也应该越高，这样才能对格的对称性产生作用。在高维空间里，即使有非常好的空间变换灵活性，高维格的变换依旧受到高维空间的限制。
威尔金森说：“这就告诉了我们，空间将物体组合在一起会有一些非常基础的特性，这种特性使得他们能够产生这些变换。”
齐默猜想只是解决一个大问题的第一步。通过解决这个猜想，这个问题的研究者们对这些高维格能做用的空间给出了一个粗略的限制条件。下一步是更加宏伟的计划，研究者将关注在这些空间中格是如何出现的，接着将这些格在空间中变换的方法进行分类。