几何和代数是怎么走到一起的？( 二 ) _代数

几何中最简单的图形是直线，直线很容易理解，也很容易描述，笛卡尔就想办法用直线来表示曲线。在平面上放置两条相互垂直的直线，以相交的位置作为原点，指定这两条直线的方向，画上刻度，就建立起了笛卡尔平面直角坐标系。对于坐标系内的某一个点，我们可以用一对数字来表示（x，y），用正负号表示它具体位于原点的哪一侧，x 和y 分别表示它在两个方向上离开原点的距离。这对数字，我们称为“坐标” 。
比如，一座城市的地图上，大道从南到北按数字分成 1 大道、2 大道、3道……街由东向西按数字分成 1 街、2街、3 街……我们可以把大道和街建成一个坐标系，任何建筑都可以按照靠近哪个大街—大道交口来定位。比如纽约图书馆的位置位于：5 大道和 41 街的交口。

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通过构建坐标系，几何图形或者说曲线上的任何点，都可以用两个数来表达了。原本复杂的几何问题就转化成了能用公式和数字来表达的代数问题，接下来需要做的就是按照代数方法来计算。我们来看一个典型的例子。
勾股定理说直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果我们把这个直角三角形放到坐标系里，让一个锐角顶点位于原点，锐角相邻的直角边与x 轴重合。

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我们把三角形的斜边长设为R，两直角边分别为 x 和 y，那么对应于 R，我们可以画出不同的x、 y 组成的很多个三角形，它们都满足关系式：
x2+ y2 ＝ R2，
当我们把这些三角形的另一个锐角的顶点连起来时，就得到了一个圆，而这个圆的半径就是 R 。
于是，我们就在代数方程和几何图形之间建立起了联系。这就是笛卡尔建立的解析几何体系，按照这种思想，任何几何曲线都可以通过建立坐标系用一个方程来表示。反过来，对于一个已有的方程，数学家也可以在坐标系内画出它的样子，一根曲线、一个曲面，或者是一个球面，从而进一步研究它的性质。比如：
y ＝ x2，
通过在坐标系里描点、连线，我们可以得到这个方程对应的曲线，这是一根抛物线。抛物线在科学、技术、工程等领域中广泛出现。

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2 000 多年前，古希腊数学家在研究圆锥曲线时已经发现了抛物线，但只有到了解析几何，才能对抛物线进行有实用价值的定量研究。
更重要的是，笛卡尔的解析几何并不限于平面几何，而是同样适用于三维甚至多维空间。在三维空间内，我们可以在平面坐标轴的垂直方向上增加一条“z”轴，并用 3 组数（x，y，z）来代表空间内的每一个点。比如，我们在绘制三维城市地图时，只需在考虑建筑物位于大道和大街的位置之余，增加一个表示建筑物高度的参数。
在坐标系上建筑现代数学
为了构建一种更好的数学方法，笛卡尔把方程和曲线结合了起来，也把代数和几何合二为一，让代数不再附庸于几何。坐标系的应用不仅把几何上已有的曲线转化成了方程，也通过构建方程定义了一些复杂的曲线，大大简化了复杂曲线的分析过程。虽然曲线千变万化，构建方程的方法却始终如一。
在建立了坐标系后，平面上的一曲线可以通过两个变量的函数方程来表示，这不仅把代数和几何联系起来，而且还把变量、函数等重要概念密切联系了起来，由此也对牛顿的研究有了一定的启发。在牛顿发表的《流数法与无穷级数》中，采用了很多解析几何的方法，而牛顿的流数法正是我们现在所说的微积分。
尽管笛卡尔的解析几何主要解决的是圆锥曲线的问题，但在他的理论基础上，17、18 世纪的科学家还引入了一些其他的新坐标系，解决了一些更为复杂的曲线问题。在那个科技文明大发展的时代，解析几何的思想解决了天文学、力学和技术中的许多实际问题。笛卡尔的工作大大提高了数学在科学研究中的地位，也向全世界证明了数学在探索真理过程中发挥的作用和力量。解析几何的提出，是一个时代结束的标志，为日后微积分的出现奠定了坚实的基础，而后者又是现代数学的基石。