几何和代数是怎么走到一起的？ _代数

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当欧氏几何走到了头
17 世纪早期，尽管科学在各个领域有了重大突破，但是数学还只有一个几何体系，就是根据古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》创立的经典平面几何体系。这个体系仅适用于由直线和圆组成的图形。这时候的代数，不过是几何的附属品。

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然而，随着人们对科学的不断深入探索，许多新的奇形怪状的图形相继出现，这些都没有办法通过欧氏几何理论进行分析。比如，为了描述天体运行的轨道，天文学家绘制了椭圆、双曲线、抛物线，其中抛物线也很好地勾勒出炮弹出膛后的运动轨迹；在海上航行时人们常常借助月亮来判定方位，因此人们迫切需要了解月球的运行轨迹和规律；望远镜和显微镜的发明，使透镜走进了人们的视野，但是人们对透镜的性质和参数却完全没有概念，比如说透镜表面应该是做成什么样，才能有最好的光线会聚性能？
要解决这些问题，需要了解曲线的概念和定量分析方法。但是欧几里得没有提出任何有关曲线问题的解决方法，古希腊人在圆锥曲线（平面与圆锥体相交得到的曲线）方面留下的著述也非常少。没有可以参考的方法，这是当时的数学家所面临的困境，数学方法的落后甚至妨碍到了整个科学的发展。
这时，有一位法国数学家率先站了出来，明确地表示了对欧氏几何那套方法的强烈不满。欧几里得的《几何原本》里提到的每一个问题，证明过程都需要一个新颖、奇巧的方法，不但过于抽象，而且多依赖于图形，甚至需要解题者具有非凡的想象力。古希腊数学家虽然在研究数学问题上花费了大量的时间，却从不考虑它们的实际应用问题。他直接抨击欧氏几何“成了一门充满混乱和晦涩、有意用来阻碍思想的记忆，而不是一门有益于思想发展的艺术” 。
这位数学家，就勒内? 笛卡尔（René Descartes）。

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1637 年，他发表了著作《方法论》。在一篇叫作《几何学》的附录中，他提出了一种不依赖于图形也更为普遍的方法，这就是将代数应用于几何，把几何和代数中的精华部分结合起来，互相以长补短，我们称之为“解析几何” 。
数学的“魔钥匙”
1596 年，笛卡尔出生于法国拉艾的一个中产阶级家庭。8 岁那年，他数学产生了兴趣，在接受了 10 年的正规学校教育之后，他决心通过直接的身体验来更好地了解世界。他到巴黎体会了浮华的生活，又回到了拉艾进行了一段时期的沉思。后来，他时而随军参战，时而四处旅行，时而在巴黎醉生梦死。最后，他决心安定下来。在接下的 20 年里，他大部分的时间和精力都用来著述。
在笛卡尔活跃的一生中，他其实一直在思考，“我们怎么理解事物，如何才能获得真理？”尽管真理不会自己产生，但是对笛卡尔来说似乎有些例外。至少他自己是这样说的，他的灵感来源于一个梦境。
1619 年 11 月 10 日，在庆祝圣马丁节的盛宴上狂饮之后，笛卡尔做了一个生动的梦。据笛卡尔所说，“在梦中他正用不带迷信的科学眼光，观察着凶猛的风暴，他发现一旦他看出风暴是怎么回事儿，它就不能伤害他了。”这个梦境仿佛向他展示了一把“魔钥匙”，这把钥匙能打开大自然的宝库，并使他掌握所有科学的真正基础。尽管，笛卡尔并没有明确说明这把神奇的钥匙是什么，不过人们通常认为这就是把代数应用于几何的方法，就是解析几何。
他认为，代数可以很好地弥补几何在抽象方面的不足，因为代数可以直接用抽象的符号和数字进行推理，而且代数还可以把推理过程变得程式化，从而让每一个人在面对数学问题时，不必因为想象力的限制而裹足不前。
于是，一种新的数学方法应运而生，这就是现在众所周知的解析几何，也是现代应用数学的基础。
人们把 1619 年 11 月 10 日当成解析几何诞生的日子，也是现代数学的诞生日。解析几何理论就像一道光一样，将蒙在数学家眼前的黑暗渐渐驱散，迎来了数学界的崭新的黎明。
公式和图形牵手
【几何和代数是怎么走到一起的？】解析几何因为它的简单而格外引人注目。就像数学中所有真正伟大的东西一样，解析几何的基本概念简单到近乎一目了然的地步。这个基本概念就是坐标系。