数字真奇妙——简单完美的六和麻烦的七 _数字

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数字 6 很有意思，有很多简洁、优美的兴致。比方很多人都知道，6 是最小的完全数，也就是说，它的全部“真约数（小于它本身的约数）”的和与积是相等的。而且它的真约数之和、之积恰等于它本身。有人说这是因为上帝在 6 天之内造出了整个世界，而也有说，正是因为 6 是完全数，所以上帝创造世界需要六天。但是６的有意思的性质远不止这些。
比如说，对于所谓“费马猜想（现在是费马定理了）”来说，n=6 是第一个无需专门证明即可知 x^n+y^n=z^n 没有正整数解的情况。这是因为只要我们证明了 n=3 没有正整数解，那么 n=6 没有正整数解乃是顺理成章的事情。
既然提到费马猜想，我们不妨把眼光转向几何：圆内接正六边形是最容易做的多边形，即使只用圆规，六等分一个圆也不会增加难度。这当然是因为圆内接正六边形的边长等于圆半径。而正是因为这一点，我们可以从正六边形开始逐渐逼近圆，以此来计算圆周率。这就是刘徽《九章算术注》中的做法。而我们知道，在立体几何里，正六边形还和正方体有着密切的联系，比如可以从正方体里作一个正六边形的截面。另外，最简单的多面体——正四面体——具有 6 条棱，最普通的几何体——长方体——具有 6 个面等等，都说明 6 这个数字的确很有意思。
相比之下，7 就麻烦多了。虽然历史上很多人对 7 情有独钟，比如音阶、星期乃至竹林七贤、过去七佛、七大奇迹、北斗七星、七巧板、哥尼斯堡七桥问题等等地方都会遇到 7，但除了后两者都和数学关系不大。在数学上，7 可以算是最小的麻烦数。
比如，一个数除以 7，如果除不尽，那么它循环节居然达到了“惊人”的 6 位。我现在还记得当年刚学循环小数时计算 1÷7 的恐怖经历。这在除数小于 13 的数字里是最长的。根据抽屉原则我们知道，如果两个整数无法整除，那么分母为 n 时，循环节最多为(n-1)位，数字 7 完美地诠释了这一点。不过后来我从一本数学读物上学了一招，可以方便地计算 1-6 除以 7 的循环节：

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【数字真奇妙——简单完美的六和麻烦的七】如图，里圈数字是被除数，外圈数字是按顺时针排列的循环节，对照如下：

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这些循环节有个共同的奇妙特性，那就是前三位和后三位加一起恰好是 999，类似的性质也可以在其他循环小数中遇到。这是初等数论中很有代表性的结论。可以说，因为我们有 7 这个最小的“麻烦数”，数论上一些不容易察觉到的性质就有了一个很好、随手可得的例证。这大概就是 7 给我们的正面意义吧。
我们再来看看几何：正七边形还是第一个不能用尺规做出的正多边形。但是很多资料语焉不详，比如我手头一本书说的是“单用直尺和圆规几乎不可能做出”，难道说尺规联合使用就能做出了？也许那本书的作者确实是这么认为的，因为那本书上就记载着这样一个做法——取圆内接正三角形边长的一半为该圆内接正七边形的边长（见下左图）：

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不过仔细算一下，或者在数学软件里度量一下就知道，这仅是近似做法。上右图是资料 1 中列举的另一种近似做法：可以记做“下七八，上四三，九七在中间；角下五，肩上九，一一点二左右手。”
为什么不能用尺规画出正七边形？原因是这其中需要用到解三次方程。而折纸可以实现这一点，所以可以用折纸来制作真正的正七边形，但是也很麻烦，大家可以阅读资料 2 。不但如此，正七边形的“麻烦”还在于它的边长需要动用复数工具，虽然最后的结果肯定会消去虚数单位 i，但是表达式里却需要始终带着这么个东西。有兴趣者可以查阅下面的资料 3 。虽然我们不能用尺规做出正七边形，但是如果已经给我们一个正七边形，我们却有把握用尺规做出一个与之面积相等的正方形。这是因为正七边形可以分成十四个全等的直角三角形，从而拼成一个矩形，而做出与已知矩形面积相等的正方形，则是简单的。
在立体几何里，可以证明，没有任何几何体恰好有七条棱。这个证明方法就留给读者了。这是 7 这个数字“麻烦”的又一例。