数字真奇妙——四和八的方方面面 _数字

【数字真奇妙——四和八的方方面面】

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本文作者刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！
本来想先和读者闲聊一下 4 和 8 的，但是写完以后发现文章太长了，还是闲话休提，只说正事，下面内容主要和 4 有关，间或有 8 。
一、算术和代数关于4有个很有意思的等式，即 2＋2=2×2=22=4，三个不同优先级的式子居然都等于 4，好玩。4还是最小的合数，而且在费马猜想中，n=4 是唯一一个需要单独证明的合数。据说当年费马可能已经证明了n=4的情形，这让他自以为“已经找到了这个命题的真正证明”只是因为“空白太小写不开了” 。这个证明用的是费马自创的“无穷下降法”，过程如果写在这里会显得很繁，所以就不列出了，请大家自行查阅有关资料。
4 还是具有求根公式的多项式方程的最高次数，但是求根公式很复杂，手动计算基本不可能，也没有必要，当然你可以用计算机编程来计算。而缺少三次和一次项的四次方程——也叫做双二次方程——却可以通过换元法转化为二次方程进行求解，这就容易多了。可以证明，任何形如 ±√a±√b 的数（a、b 都是正有理数，且开方后至少有一个是无理数）都是整系数双二次方程的根。证明起来很简单，大家要不要试一试呢？

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纪念哈密尔顿邮票
数学里有一种对象叫做“四元数”，形式上包括一个实数部分和三个不同的虚数部分：

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这是著名的哈密顿发明的，据说他的动机是看到了复数的重要作用，觉得“既然引入一个虚数部分很有用，那么引入两个会不会更有用呢？”结果他总是失败，原因是弄不好这个新数的乘法，后来他终于恍然大悟，不是引入两个而是引入三个虚数部分，而且放弃了自古以来被视为天经地义的乘法交换律才搞定。遗憾的是，四元数似乎并没有太大的作用，大概是因为矩阵已经可以代替它了吧。在四元数以后数学家还创造过所谓的八元数，就是一个实数部分带七个虚数部分，连结合律都不遵守了，用途更少了。
二、传统几何中的 4 和 8传统的平面几何中，四点共圆是一种重要的几何模型，因为这里面既有长度关系又有角度关系，在证明题中常用来转化长度和角度。这一模型使用灵活，而且其中的圆往往不是真实出现，只是一个辅助圆，所以难度也不小呢。这方面的典型例子是“三角形三条高线交于一点”的一个经典证明。

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PA×PC=PB×PD，∠1=∠2
在平面几何中，重要的四边形是平行四边形，以及各种特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形。
立体几何中，有几种重要的多面体带有“4”和“8”，比如最基本的几何体——三棱锥有四个面、平行六面体有八个顶点，以正方体的各面中心为顶点可以得到正八面体，而金字塔则是正四棱锥，如此等等。
三、四维空间四维空间是科幻、科普作品中的常客，也是人类无法凭直觉把握的东西。这些年刘慈欣的《三体》大火，其中第三部就描述了四维空间的景象。我很佩服他的想象力，虽然知道肯定是有“硬伤”的。
本文不再谈四维空间和相对论等等的关系了，事实上我也没有那个能力，下面只谈一条几何公理：若两平面a和b有一公共点A，则它们至少还有一公共点B 。这在希尔伯特的《几何基础》中被列为结合公理的第七条，即I7 。希尔伯特说这条公理表示空间不能多于三维，但没有具体论述。实际上，如果空间是四维的，建立坐标系，设其中一个平面的方程是 w=x=0，另一个平面的方程是y=z=0，容易知道这两个平面的公共点有且只有 (0,0,0,0) 。因此在四维空间里两个平面可以仅在一点相交。更高维类似可证，但要注意的是，在五维空间里平面方程有三个等号，六维则是四个等号，如此等等。由此可见，我们虽然不能想象高维空间，但是能通过数学把握其性质，这是人类理性的胜利。

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关于四维空间，还有什么可以说的吗？比如四维空间里有没有“柏拉图立体”？其中肯定有正方体，不过其它的正多面体（或者更确切地应该叫正什么？反正你懂我的意思就行了）是否存在就需要动动脑筋了。下面我们还是离开这么抽象的东西，看看其它学科。