19世纪几何学的革命，非欧几何如何塑造了哲学、科学、文化和艺术( 二 ) _古代数学

文章插图

图片：DeanHochman ， CCBY2.0 。
你可能会说镜像仅仅是一种幻象，而只有在我们居住的真实世界，欧式几何的世界，才是切实存在的。但你真的那么肯定？镜像中远处的人看起来比实际小，但你如果用一把尺子贴到他们身上，尺子也会同等比例变小，因此在这个非欧几何的世界测量的结果和现实世界会是一致的。想象一下镜中世界的人（你自己的反射）可以同样坚持认为镜中的那个世界才是真的。这很难去辩论——赫姆霍兹说，欧式几何还是非欧几何哪一个才是真的，我们无法通过几何实验来判别。
因此，与康德的哲学理念相反，赫姆霍兹认为几何学的公设并不来自于人类的先验观念或逻辑学的必然性需要。对于他来说，空间是或不是欧式几何的关键是一个经验的问题。

文章插图

亨利·庞加莱(1854–1912).
这有一个更加激进的观点。亨利·庞加莱（HenriPoincaré）把非欧几何视为革命性的，但他不同意康德和赫姆霍兹。如果按照赫姆霍兹认为的，几何学是来源于经验，那么几何将不再是一门科学。而且，庞加莱意识到在我们的思想中可以存在不止一种空间。因此，几何学公设并不是一种“先验综合判断（康德所说）” ，它们不是“经验的事实（赫姆霍兹所说）” ，它们甚至不是必然成立的不证自明的真理（如更早的哲学家笛卡尔和拉格朗日认为的）。几何学公理，在庞加莱看来，是一种约定俗成的惯例。
因此，我们应该如何确定要使用哪些公约——欧几里得的公约，还是新的非欧几里得的公约之一？庞加莱说，我们的选择可能取决于经验，但是，只要我们避免自相矛盾，就可以随便选。“我们对这个问题——欧几里得几何是正确的吗？——有什么看法？这个问题没有意义。个几何不能比另一个更加真实；它只会更加方便。”
这是观点的革命性转变：数学不再完全符合现实，取而代之的是，我们选择的数学模型能最好地满足我们的需要。
在 20 世纪，事实证明，黎曼类型的非欧几里得几何形状实际上更为方便。因为黎曼的非欧几里得几何正好是爱因斯坦建立广义相对论所需要的。这是否意味着真实空间真的是非欧几里得的？庞加莱（Poincaré）可能会说，非欧几何只是在这里适用罢了。
空间心理学甚至在非欧几里得几何学之前，像贝克莱主教（Bishop Berkeley ，译者注：主观唯心主义者，他认为，我们对时间和空间的认知可能也只是由于我们的心灵所虚构的产物而已）一样的哲学家就指出我们看不到距离。我们所看到的是视角-我们从实际所见的角度推断出那里的几何形状。
这是有一个非常简单的例子。看一下房间的一角，天花板和两堵墙相交。

文章插图

这些显然是三个 90°角汇聚在一起。但是，如果您按实际出现的角度测量各个角度，则每个角度都大于90度。我们的视觉空间与我们声称看到的空间不同。
非欧几何的诞生使心理学家对此事进行了很多思考。例如，亥姆霍兹（Helmholtz）做了一个实验，要求黑暗房间里的人们将桌子上的小光点排列成两条平行的线，并逐渐向远处延伸。但是这些人从这些光点所划出的线并不平行，而是向远离观察者的方向弯曲。亥姆霍兹认为视觉空间是非欧几里得的。现在的主流观点是，视觉感知空间不能由任何一致的几何形状表示。
这些都是欧洲那边的情况。在其他文化中呢？文化语言学家史蒂文·莱文森（Steven Levinson）表明，与在外部欧几里得空间不同，处于不同文化背景的人们还有其他方式来排列自己的感知。
有些文化的确使用空间固定坐标系的思想，例如当我们说“汽车在建筑物南侧”时，就是使用四个基本方向。但是其他文化则更多地根据身体之间的关系来排列他们对空间的感知。有些人是从个人的角度出发的，例如当我们说“汽车在建筑物的右侧”时。这里没有涉及空间的想法。甚至还有一种方式，使个人不参与其中，例如当我们说“汽车在建筑物前面”时。这里，对象的固有属性定义了其位置。