学习欧拉吧，在任何意义上，他都是我们所有人的大师( 四 ) _小知识

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他先向我们展示了这一等式：接着说明了这条公式的几何含义：如果 γ 是负数，我们将得到一个椭圆；如果 γ=0，则会出现一条抛物线；如果 γ 是正数，则是一条双曲线。然后，他将整个论证过程扩展到三维的二次曲面上，并对一共出现的 7 种情形进行代数研究，在此过程中他发现了双曲抛物面。
引论中另一个有趣的话题就是“整数分拆”(Integer partition) 。如莱布尼茨致伯努利的信中所述，将一个正整数表示为若干个正整数的和共有几种方案？
令 p(n) 表示无序拆分的方案个数——例如 p(4)=5，对应于下面五种拆分方案： 4,3+1,2+2,2+1+1, 1+1+1+1。
由此，我们可以绘制一个数值表，但是如何得到 p(200) 的划分数为3972999029388呢？
为了找到 p(n) 的值，我们不如使用欧拉在引论中所用的五边形数定理，通过迭代得出：

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直到现在，这仍是得到 p(n) 最有效的方法。
在引论中有所记载，关于“整数分拆”有一个奇妙的结论。当拆分成的数都是奇数时，例如在这样情况下，整数 9 有八种拆分方案：?

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当拆分成完全不同的数时，同样是 9，也恰好有八种拆分方案：?

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欧拉运用“母函数”(Generating function)证明，对于任何数字，拆分成的数都是奇数的方案数，等于拆分成完全不同的数的方案数，这是一个有趣且意想不到的结论。
在欧拉于1750年致哥德巴赫的一封信中，他提及了当时的另一个研究领域。他一直在观察立方体及棱柱之类的简单多面体，并发现简单多面体的顶点数(V)、面数(F)、边数(E)之间始终存在一个关系式 F-E+V=2：

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▲ [遇见] 2020数学台历
例如，上图的正六面体有 6 个面，8 个顶点和 12 条棱，则有 6 + 8 = 12 + 2，这一关系对于任何以平面为边界的实体都成立。这一定理曾被误认为是笛卡尔发现的，但后来人们并未找到笛卡尔为了推导出它使用的术语和动机：实际上，是欧拉引入了边的概念。但是，欧拉的证明不够完整——40年后，代数学家和数论学家勒让德(Legendre)给出了完整的证明。
欧拉最受欢迎的畅销书是《致一位德国公主的信》(Letters to a German Princess) 。欧拉一直是一位思路清晰的写作者，这是当他应邀为安哈尔特·德绍公主函授基础科学课程时撰写的一系列杰作。这卷书囊括了200多封欧拉的书信，与科学相关的话题论及重力、天文学、光、声音、磁、逻辑学等方面。他写了为什么天空是蓝色的，为什么月亮升起时看起来更大，为什么山顶寒冷(甚至在热带地区也是如此)，以及“人与动物的导电”等等。此书堪称有史以来最好的科普书之一。

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▲ 1769年版《致一位德国公主的信》第一卷封面(图自维基)
1755年，欧拉完成了他在柏林创作的最后一本关于微积分学的巨著《微积分概论》。这本书包含了所有最新的研究成果，其中很多理论的诞生都要归功于欧拉。书中根据函数的基本概念介绍了微积分——毋庸置疑，正是欧拉引入了 f(x) 函数的记法。除此之外，他还引入了 ∑(求和符号)，i(-1的平方根)和 e(自然对数的底数)等符号，尽管“π”最初由威廉·琼斯(William Jones)于 1706 年提出，但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行。1768 年至 1770 年间，他在微分研究的基础上继续深入，发表了三册有关微积分的论文。
重返圣彼得堡1766 年，59 岁的欧拉应叶卡捷琳娜二世之邀回到圣彼得堡，在经历了与腓特烈大帝相处的诸多不快后，这一邀请令他备感宽慰。多亏了开明的女皇，圣彼得堡的情况大有好转，欧拉在那里也得到了皇室规格的招待。他继续满怀热情地工作，很快就在纯粹几何学上获得了可喜的成果：在任意三角形中，都有三个特定点。第一个是垂心——从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点；第二个是重心——三角形的三条中线的交点；第三个是外心——三角形外接圆的圆心。通过坐标计算，欧拉证得了一个相当漂亮的结论：这三个点始终位于一条直线上(后人称之为三角形的欧拉线)，并且重心恰好位于另外两点距离的三分之一处。