学习欧拉吧，在任何意义上，他都是我们所有人的大师( 五 ) _小知识

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▲ 图左上表示从顶点到对边中点的三条线相交于形心；图左二表示从顶点到对边的三条垂线相交于垂心；图右上表示三角形的外接圆和外心；图下方表示三点位于一条直线，形心位于另外两点间距离的三分之一处。
欧拉对数论的兴趣一直延续到他的晚年，当时他对一些与费马相关的结论，特别是费马大定理进行了推论。
众所周知，存在满足 a2+b2=c2 的正数 a，b，c。例如，32+42=52, 52+122=132 。
但费马在丢番图《算术》(Arithmetica)一书的页边空白处记录了如下猜想：对任意大于 2 的指数 n，不存在满足下式的正数。

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欧拉在其 1770 年发表的数论书中证明，两个立方数之和不可能等于另一个立方数( )，两个四次方数之和不可能等于另一个四次方数( ) 。费马大定理直到 1995 年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew John Wiles)得以彻底地证明。
欧拉与费马的另一联系是费马小定理，该定理指出，如果 a 是不能被给定质数 p 整除的任何整数，则 a^(p-1)-1 必能被 p 整除；例如，设 p=29，a=48，可推出 48^28-1 能被 29 整除。1760年，欧拉将这一结论扩展到质数以外的数字，引入欧拉 φ 函数，证明了对于如果整数 a 和 n 互质，a^φ(n)-1总能被 n 整除。
数论中的又一结论涉及完全数(Perfect number，又称完美数、完备数)，即一个数所有的真因子的和等于它本身。例如，6 是一个完全数，因为它的真因子是 1、2、3，它们的总和为 6；同样，28 也是一个完全数，因为它等于其真因子 1、2、4、7 和 14 的总和。

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欧几里得在他的《几何原本》中证明，只要第二项 2^n-1 是质数，则形如下式的每个数都是完全数。

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此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。
欧拉一生的最后几年虽然比他以往的生活更加安宁，但却充满了接踵而来的不幸。1771 年，欧拉的住宅被烧毁，书房化为灰烬，而他自己也差点丧命，但幸运的是，他的手稿得以保存了下来。没多久，他的爱妻去世，而他也再婚了。最终，欧拉几乎完全失明了——但当他在石板上奋笔疾书，他的两个儿子做笔录时，他表现出的生产力丝毫不减。
在 1725 年的一本趣味数学书中，法国数学家雅克·奥扎南(Jacques Ozanam)提出了排列 16 张宫廷牌，使每行每列都包含各种花色和各种数值及 J，Q，K，A 的方法，如下是几种排列方法。

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▲ 4×4 正交拉丁方阵
用 25 张牌(包括 5 种花色和 5 种数值)也可以进行相似的排列。

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▲ 5×5 正交拉丁方阵
那么，当牌数增加到 36 张时的排列呢？欧拉在他去世的前一年，在关于幻方(他的又一兴趣)的论文中，提出了“36 军官问题”(Thirty-six officers problem)：
按方阵排列36名军官，由6个不同的军团各选6种不同军阶的6名军官组成，如何使得各行各列都有来自每种军阶的一名军官和来自每个军团的一名军官？
欧拉认为不存在符合要求的编排方法，而加斯顿·塔里(Gaston Tarry)在 1900 年左右通过列举所有的可能性终于证实了这一猜测。欧拉还称，对于任意军团数和军阶数(除该数为 4n+2，即 6,10,14,18...时)，相应问题都存在解决方案。尽管欧拉方阵猜想直到 1960 年左右(即近 300 年后)才得到证明，但他的猜想只在该数为 6 时成立，其余情况都不成立。
巨星陨落欧拉直到生命的最后一刻还在孜孜不倦地工作。孔多塞侯爵的悼词将我们带回他的最后一个下午：1783年9月7日，他在一块石板上计算出气球上升定律后(后来这一新发现在整个欧洲引起了轰动)，与莱克塞尔先生及其家人共进晚餐，谈论着赫歇尔行星(天王星)以及确定其轨道的计算。没过多久，他叫来了他的外孙，一边喝茶，一边与之玩耍，突然间，烟斗从他手中掉了下来，他停止了计算和呼吸。
1707 - 1783，欧拉时代最终还是落下了帷幕。