拨动天空琴弦的三角学( 二 ) _小知识

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所以，会在物理的运动分析上见到它，因为它可以把复杂的曲线运动分解为简单的直线运动；你也会在受力分析上见到他，可以把平面上的任何力都分解成垂直于平行的两个力之和(也叫“向量的平行四边形法则”) 。

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还可以意识到，描述平面上任意一点，直角坐标和角度+长度其实是等价的，这两种形式的桥梁就是角函数。
在描述旋转(曲线)的时候，直接用旋转的量角度(弧度)，比用平移的量(直角坐标)要简洁方便的多，所以我们就多了一种描述曲线的方法，现在可以哪种方便用哪种，所以在雷达屏幕上你可以见到“极坐标” 。

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再举两个例子，用极坐标方程 y=1表示圆，而用 y=e^(aθ) 表示螺线：

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当然向量和复数也都可以用这两种坐标来表示，他们的两种表示形式都可以用角函数进行变换。
三角形与圆你会发现，大量的概念都和直角三角形扯上了关系，直角三角形为啥总是出现？
如果从转动的角度来说直角三角形其实是简洁的，而任意三角形是复杂的。
? 为什么这样讲呢？
重新来看角和圆的定义(上一篇中谈过)，如果转动的时线段长度是可变的，那么最后形成的东西就是“任意三角形”了，对应乱乱的轨迹和无序；反之，产生的东西就是“等腰三角形”，对应的是优美的圆弧与有序。
为了计算的方便，我们把“等腰三角形”一份两半，形成“直角三角形”，同时也把圆弧和全弦一分两半，形成“半弦”(正弦) 。
直角三角形本来就是圆的一部分(都是有序转动产生的)，只要一旦把角放到直角三角形，就可以化无序为有序，就意味着一下子多了非常多的已知条件，依靠直角三角形往往能让问题的解答简洁优美，有助于问题的解决。

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把三角形的任意角，放到直角三角形中是非常简单的，只要作顶点到底边的垂线即可。
从这个角度上来讲：“作高”的过程，其实就是在“作弦”，时光倒流，把原本乱乱的运动变成简洁的运动。所以直角三角形总是这么频繁的出现。

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总结

角函数的发展也是从具象到抽象的过程：
定性 → 弦长表 → 半弦表 → 定义在直角三角形上(角函数表) → 定义在直角坐标系上
角函数是旋转和平移之间的桥梁。sin 和 cos 的作用是解旋，tan是斜率。
直角三角形是在旋转中充当了有序和无序之间的桥梁。

注释[1] 弦长表是希腊天文学家 Hipparchus 首创的，其作品已失传，事迹记录于托勒密的《天文学大成》一书。如果不知道“正弦”先后有两个意思，就难以理解“正弦”与“圆”的关系。“遇见数学”翻译过一篇文章，作者说“正弦”和“圆”的关系是巧合，也许作者对这段数学史没有了解。

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[2] 阿拉伯是东西方的信使，托勒密的弦长表是 60进制的，因为那时只有60进制才能表示小数。印度人的发明的10进制也是阿拉伯人传到西方的，所以也叫做“阿拉伯数字”，其实阿拉伯人只是个翻译。

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[3] 用斜边和对边之比定义角函数的源头就在于此。从名称上来看并不利于记忆，和“弦”、“割”及“切”的具象定义无关；其次，从定量上看不及单位圆和坐标系。可以用联想法辅助记忆。

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[4] 在几何作图中我们往往默认长度是正数，也就是“单向数轴” 。如果接受“长度也可以是负数”，也就是“数轴”的概念，那么就钝角的问题就解决了，角度也可以为负。
另外，在寻找复数的过程中，最关键的就从几何上解释 √-1，笛卡尔作为坐标系发明人，也没有意识到“数平面”的概念，结果寻找复数的努力失败了。