1、3.2.2平面的法向量与 平面的向量表示,1,提问：A ， B ， C ， 三点不线 ， 四点A ， B ， C ， M 共面的充要条件是,图示,平面的向量方程,2,1.直线与平面垂直的定义,2. 平面的法向量,如果向量 的基线与平面 垂直 ， 则向量 叫平面 的法向量,几点注意： 1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 是平面的法向量 ， 向量 与平面平行或在平面内 ， 则有,3,A,给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的,3. 平面的向量表示,4,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置 ， 上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的平行,如何用平面的法向 。

2、量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢,5,4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件,6,l1,7,l,8,9,10,11,待定系数法,12,13,简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直 ， 所以AB ， AD ， AF互相垂直 。
以 为正交基底 ， 建立如图所示空间坐标系 ，设AB,AD,AF长分别为3a ， 3b ， 3c,则可得各点坐标 ， 从而有,又平面CDE的一个法向量是,因为MN不在平面CDE内 所以MN/平面CDE,14,分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直,例:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m , 。

【高中数学|高中数学 法向量】3、n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证:,m,n,取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系,15,例:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证:,16,6.有关平面的斜线概念 ，三垂线定理及其逆定理 P104,17,什么叫平面的斜线、垂线、射影,PO是平面的斜线, O为斜足,PA是平面 的垂线, A为垂足,AO 是PO在平面内的射 影,18,例题分析,1、判定下列命题是否正确,1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面 内的射影 ， 则ab 。

4、 。
(,2)若a是平面的斜线 ， b是平面内的直线 ，且b垂直于a在内的射影 ， 则ab 。
(,三垂线定理,19,答：aPO,三垂线定理：在平面内的一条直线 ， 如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直 ， 那么它也和这条斜线垂直,为什么呢,三垂线定理,20,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系,2、a与PO可以相交 ， 也可以异面,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理,对三垂线定理的说明,三垂线定理,4、三垂线定理的图形是由“四线一面”五个部件组成垂线、斜线、射影、面内一线、平面,21,三垂线定理,在平面内的一条直线 ， 如果和这个平面的一条斜线 。

5、垂直 ， 那么它也和这条斜线的射影垂直,三垂线定理的逆定理,三垂线定理：在平面内的一条直线 ， 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 ， 那么它也和这条斜线垂直,数式,22,另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, 证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量 的数量积为零,23,证明,如图,已知,求证,在直线l上取向量 ,只要证,为,24,分析:逆定理 同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析,25,26,27,关于三垂线定的应用 ， 关键是找出平面(基准面)及垂线 。
至于射影则是由垂足、斜足来确定的 ， 因而是第二位的,第一、定平面(基准面) 第二、找平面垂线（电线杆,第 。

6、三、看斜线 ， 射影可见,三垂线定理,第四、证明直线a垂直于射影线 ， 从而得出a与b垂直,强调：1四线是相对同一个平面而言,2定理的关键是找“基准面”和“电线杆,28,29,证明,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,30,31,小结,1.直线与平面垂直的定义,2. 平面的法向量,3. 平面的向量表示,4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件,6.有关平面的斜线概念 ，三垂线定理及其逆定理 P104,32,巩固性训练1,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系,平行,垂直,平行,33,巩固性训练2,1.设 分别是平面,的法向量,根据 下列条件,判断,的位 。

7、置关系,垂直,平行,相交,34,1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若， 则k= ；若 则 k=。
2、已知， 且 的方向向量为(2,m,1) ， 平面的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且， 则m=,巩固性训练3,35,36,1如图 ， 正方体 中 ，E为 的中点 ，证明： /平面AEC,练习:用空间向量来解决下列题目,2、在正方体AC 中 ， E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB AD 、D C 、DD的中点 ，求证：平面PQR平面EFG 。

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