『易坊知识库摘要_数学|数学ⅴ北师大版3.3第1课时基本不等式学案+练习』2、么ab ab , 当且仅当 a=b 时，等号2成立，我们称上述不等式为差不多不等式.其中ab称为 a,b 的算术平均数，ab称为 a,b 的几何平均数，因此，差不多不等2式又称为均值不等式.2. 重要不等式...

1、数学北师大版 3.3第 1 课时 基本不等式学案 +练习第 1 课时 差不多不等式知能目标解读1.理解差不多不等式 ， 并掌握差不多不等式的几何意义.2.掌握差不多不等式成立的条件；能应用差不多不等式解决求最值、证明不等式、 比较大小、求取值范围等问题.3. 在使用差不多不等式过程中 ，要注意定理成立的条件 ，在解题时 ，常采纳配凑的方法 ， 创造条件应用均值不等式 .重点难点点拨重点：理解并掌握差不多不等式 ，借助几何图形说明差不多不等式的意义 ，并用差不多不等式求最值 .难点：利用差不多不等式求最值时, 等号成立的条件.学习方法指导【一】差不多不等式1. 差不多不等式：假如a,b 基本上非负数 ， 那 。

2、么ab ab , 当且仅当 a=b 时 ， 等号2成立 ， 我们称上述不等式为差不多不等式.其中ab称为 a,b 的算术平均数 ， ab称为 a,b 的几何平均数 ， 因此 ， 差不多不等2式又称为均值不等式.2. 重要不等式：假如 a,b R, 那么 a2+b2 2ab当且仅当 a=b 时 ， 取 .证明： a2+b2-2 ab=( a-b ) 2 ,当 ab 时 ，a-b 20；当 a=b 时 ， a-b 2 0. 因此 a-b 2 0, 即 a2+b2 2ab.3. 差不多不等式的几何解释：差不多不等式一种几何解释如下：以a+b长的线段为直径作圆 ， 在直径上取点， 使. 过点C作垂直于直径ABCAC=a,CB=bAB 。

3、的弦 DD ， 连结AD、 DB ， 易证 Rt ACD Rt DCB,那么=, 即=.CDCA CBCDab那个圆的半径为ab， 显然 ， 它大于或等于CD ， 即 a b ab， 22其中 ， 当且仅当点C与圆心重合 ， 即a=b 时 ， 等号成立 .以上我们从几何图形中进行了解释 ， 获得了不等式ab ab a 0, b 0 .2事实上质是： 在同一圆中 ，半径不小于半弦 ，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高 .4. 关于a2+2 2 和a,b0bababab2 1两个不等式： a2+b2 2ab 与 a b ab 成立的条件是不同的 ， 前者要求a,b 基2本上实数 ， 后者那么要求a,b 基本上正数 .如： -3 2 。

4、+ -4 2 2 -3 -4 是成立的 ， 而34 34 是不成立的 .2注意：(1)要在理解的基础上 ， 记准这两个不等式成立的条件.(2) 两个不等式： a2+b2 2ab ，a b ab 基本上带有等号的不等式. “当且仅当 a=b2时取”这句话的含义是“ a=b”时 ，a2+b2 2ab ，ab ab 中只有等号成立 ， 反之 ， 2假设 a2+b2 2ab,ab ab 中的等号成立时 , 必有 “a=b” ， 这一条件至关重要 ， 忽略它 ， 2往往会导致解题的失误 . 3两个不等式的应用两个不等式的结构基本上一边为“和式” ， 另一边为 “积式” ， 因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式 。

5、”的放缩功能 ， 可证明不等式. 利用等号成立的条件 ， 可求最大、最小值 .【二】利用差不多不等式求最大小值利用差不多不等式ab ab， 在求某些简单的最大小值问题时 ， 特别有应用2价值 . 一般地：x,y 都为正数时 ，1假设和为定值 ， 那么当x=y时 ， 积xy取得最大值;
x+y=SS24 2假设 xy=p积为定值， 那么当 x=y 时 ， 和 x+y 取得最小值 2p .证明： x,y都为正数 ，xy xy2(1) 和式为定值 S 时 ， 有xy S， 2 xy 1 S2. 上式当“x=y”时取“”号 ， 因式当 x=y 时 ， 积 xy 有最大值1 S2；44(2)积式 xy 为定值 p 时 ， 有 x y p ,2。

6、2.x+yp上式当“ x=y”时取“”， 因此 ， 当 x=y 时 ， 和 x+y 有最小值 2.p注意： 1在应用均值不等式ab ab 求最值时 ， 需满足三个条件： “一正、二定、三2相等” . “正”是所有变量均为正数 ，“定”是指变量的积或和为定值 ，“相等”是指等号成立的条件 ， 以上三者 ， 缺一不可 .(2) 在有关证明或求最值时 ， 不等式都可连续多次使用 ， 但需注意的是等号成立是否矛盾 ， 只有当各次应用差不多不等式时 号成立的条件一致时 ， “”才会取得 ， 否那么 将不成立 .知能自主梳理1. 差不多不等式假如 a,b 基本上非负数 ， 那么式称为差不多不等式 ， 其中平均数 .称为 ， 当且仅当a,b 的算术平均数 ， 时 。

7、 ， 等号成立. 此不等称为 a,b 的几何2. 利用差不多不等式求最值 1两个正数的和为定值时 ， 它们的积有 ， 即假设a0,0, 且为ba+b=M,M定值 ， 那么 ab M 2 ， 等号当且仅当 a=b 时成立 .4 2两个正数的积为定值时 ， 它们的和有 ， 即假设 a0, b0, 且 ab=P,P 为定值 ， 那么, 等号当且仅当a=b时成立 .a+b答案 1.ab aba=babab222.(1)最大值M2(2) 最小值2p4思路方法技巧例 1 0 a1,00, b0, a+b 2ab ,a2+b2 2ab,四个数中最大数应为a+b 或 a2+b2.又 0 a 1,02), n=22-b2 ( b 0), 那么 。

8、 m、n 的大小关系是a 2A. mnB. m2, -20,a又+=( -2)+2+2=4, 当且仅当a-2=, 即m=a1a111a 2aa2a 22a 2 a-2 2=1, 又 a-20，a-2=1, 即 a=3 时取等号 . m 4. b 0, b2 0, 2- b2n.命题方向利用差不多不等式求最值例 2 1假设 x0 ， 求函数 f ( x)= 12 +3x 的最小值；x 2假设 x0, 可得 12 0,3 x0. 又因x为123x=36 为定值 ，且12=3x(x0) 时 ， x=2, 即等号成立 ，从而可利用差不多不等式求最值 .xx对 2 ， 由 x0,-3 x0, 因此对 (- 12 。

来源：(未知)

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