? 证明：（分析法证明）设要证为开集 ， 只须证明事实上 ， 取时 ， 自然有 。
? 故为开集 。
无限个开集之交不一定是开集 。
反例：设 ， 则=既不是开集 ， 又不是闭集 。
六、证明：设f(x) ， f(x)为可积函数列 ， f(x)f(x) a.e于E ，且|f|d|f|d ， 则对任意可测子集eE有 |f|d|f|d证明：因为f(x)f(x) a.e于E ， 对任意由Fatou引理知|f|d|f|d而已知|f|d|f|d ， 则对任意由Fatou引理知：一方面|f|d 。

9、= |f|d|f|d另一方面 ， |f|d= |f|d|f|d|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d故|f|d|f|d|f|d即|f|d= |f|d七、计算下列各题： 1sin(nx)d=?解：因为?sin(nx) 0于0 ， 1第 3页? 共 4 页 ? 且|1则由Lebesgue控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02设f(x)=求d=?解：所以3设f(x)= ?n=2,3,? 求d=?解：因为f(x)=? ?n=2,3,在上非负可测 ， 所以由Lebesgue逐块积分定理知：d= 。
一、选择题 (共10题 ， 每题3分 ， 共30分)1.设是中有理数的全体 ， 则在中的导集是 【 】 。

10、(A) (B) (C) (D)2.设是一列闭集 ， 则一定是 【 】(A)开集 (B)闭集 (C) 型集(D) 型集3.设是中有理数全体 ， 则 【 】(A) 0 (B)1 (C) (D)-4.下面哪些集合的并组成整个集合的点 【 】 (A) 内点 ， 界点 ， 聚点 (B) 内点 ， 界点 ， 孤立点 (C) 孤立点 ， 界点 ， 外点(D) 孤立点 ， 聚点 ， 外点5.设是Cantor集 ， 则 【 】(A) 与对等 ， 且的测度为0(B) 与对等 ， 且的测度为1(C) 与不对等 ， 的测度为0(D) 与不对等 ， 的测度为16. 设与在上可测 ， 则是 【 】(A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法判定7. 设在可测集上有定义 ，。

11、则是 【 】(A) 单调递增函数列(B) 单调递减函数列(C) 可积函数列(D) 连续函数列8. 设是任一可测集 ， 则 【 】(A) 是开集 (B) 是闭集(C) 是完备集(D) 对任意 ， 存在开集 ， 使9设 ， 则 【 】 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 410设是上一列几乎处处有限的可测函数 ， 若对任意 ， 有下面条件成立 ， 则 依测度收敛于 【 】(A) (B) (C) (D) 二、定理叙述题(共2题 ， 每题5分 ， 共10分)1.鲁津定理2.Fatou引理三、判断改正题(正确的打对号 ， 错误的打错号并改正 ， 共5题 ， 每题4分 ， 共20分)1. 若与它的真子集对等 ， 则一定是有限集 【 】 2. 凡非负可测 。

12、函数都是可积的 【 】3.设为空间中一非空集 ， 若则 【 】4.设为可测集 ， 则存在型集 ， 使得 ， 且 【 】5.在上可积 ， 则在可积且 【 】四、证明题(共4题 ， 每题10分 ， 共40分)1.开集减闭集后的差集为开集 ， 闭集减开集后的差集为闭集2.上全体有理数点集的外测度为零3.设函数列在上依测度收敛 ， 且于 ， 则于4.设在上可积 ， 则得 分阅卷人判断题（每题2分 ， 共20分）1.必有比大的基数 。
（ ） 2.无限个闭集的并必是闭集 。
（ ）3.若 ， 则是至多可列集 。
（ ）4.无限集的测度一定不为零 。
（ ）5.两集合的外测度相等 ， 则它们的基数相等 。
（ ）6.若在的任意子集上可测 ， 则在可测集上可测 。
（ ）7.上 。

13、可测函数列的极限函数在上不一定可测 。
（ ）8.是上的可测函数 ， 则可积 。
（ ）9.若且 ， 则于 。
（ ）10.若在上可积 ， 则在上也可积 。
（ ）二、填空题（每题2分 ， 共20分）1.设 ， 则，。
2.设 ， 则，。
3.设是开区间中有理点的全体 ， 则。
4.单调函数的不连续点集的基数是。
5.设是上的集 ， 则。
6.闭区间 上的有界函数可积的充要条件是。
7. 狄利克雷函数函数是 可积的 ，。
三、计算题（每题10分 ， 共20分）.1.计算 。
（提示：使用Lebesgue控制收敛定理）2. 设 ， 其中是Cantor集 ， 试计算 。
四、证明题（每题8分 ， 共40分）1. 证明： 2. 设是平面上一类圆组成的集合 ， 中 。

14、任意两个圆不相交 ， 证明是是至多可列集 。
3. 如果 ， 则的任何子集也可测且测度为零 。
4.设在上可积 ， 且于 ， 证明：也在上可积 。
5. 可测集上的函数为可测函数充分必要条件是对任何有理数 ， 集合是可测集 。
一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）;
（B）;
（C）;
（D）;
2、设P为Cantor集 ， 则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若, 则 (B)。

15、是可测函数（C）是可测函数;
（D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数 ， 则下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数（C）在上L可积 (D) 二. 填空题(3分5=15分)1、_________2、设是上有理点全体 ， 则=______,=______,=______.3、设是中点集 ， 如果对任一点集都有_________________________________ ， 则称是可测的4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分” ， “必要” ， “充要”）5、设为上的有限函数 ， 如果对于的一切分划 ， 使_______________________ 。

来源：(未知)

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标题：函数|实变函数测试题与答案( 二 )