23、可表示为一列闭集之并集： ， 则称为 .3（Fatou引理）设是可测集上一列非负可测函数 ， 则 .4设为上的有限函数 ， 如果对于的一切分划 ， 使成一有界数集 ， 则称为上的， 并称这个数集的上确界为在上的， 记为 .二、选择填空：（每题4分 ， 共20分）1下列命题或表达式正确的是 A B C对于任意集合 ， 有或 D2下列命题不正确的是 A若点集是无界集 ， 则 B若点集是有界集 ， 则C可数点集的外测度为零 D康托集的测度为零3下列表达式正确的是 BD4下列命题不正确的是 A开集、闭集都是可测集 B可测集都是Borel集C外测度为零的集是可测集 D型集 ， 型集都是可测集5下列集合基数为（可数集）的是 A康托集 BC设是整 。

24、数 ，D区间中的无理数全体三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理四、（20分）设 ， 是上有限的可测函数 ， 证明：存在定义在上的一列连续函数 ， 使得于五、（10分）证明六、（10分）设是满足Lipschitz条件的函数 ， 且于 ， 则为增函数七、（10分）设是上的有界变差函数 ， 证明也是上的有界变差函数一、填空题：（共10分）1、,（或） 闭集 ， 闭包2、型集 ， 型集3、 4、有界变差函数 ， 全变差 ，二、选择填空：（每小题4分 ， 共20分）1、D 2、A 3、D 4、B 5、C三、（20分）定理：设有限于 ， 若对于任意的 ， 总有闭集 ， 使 ， 且在上连续 ， 则是上的可测函数. 证 对任意的正整数 ， 存在闭集使 ， 且 。

25、在上连续 ， 从而在上可测 设 ， 则是可测集 ， 且 ， 于是在上可测 由于 ， 只须证在上可测 ， 事实上 ， 对任意的 ， 是可测集在上可测在上可测 （5分）四、（20分）证明 在上可测 ， 由Lusin定理 ， 对任何正整数 ， 存在的可测子集 ， 使得 ， 同时存在定义在上的连续函数 ， 使得当时有 （7分）所以对任意的 ， 成立 ，因此 由F.Riesz定理 ， 存在的子列 ， 使于 ， 记 ， 则于 五、（10分）证明 设则在上连续 ， 因而可积可积 ， 且 取 ， 则 ， 而由Lebesgue有界收敛定理六、（10分）证 因为满足Lipschitz条件 ， 所以是绝对连续函数 ， 对任意的 ， 由牛顿莱布尼兹公式（1）（2） （2）（1）是上的单调函数 七、（10分）证 是有界变差函数 ， 因而是有界函数 ， 于是 ，对的任意分划有因此也是上的有界变差函数 。

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标题：函数|实变函数测试题与答案( 四 )