1、实变函数试题一 ， 填空题1. 设, , 则.2. ,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设是中函数的图形上的点所组成的 集合 ， 则 ， .4. 若集合满足, 则为集.5. 若是直线上开集的一个构成区间, 则满足:, .6. 设使闭区间中的全体无理数集, 则.7. 若, 则说在上.8. 设, ,若,则称是的聚点.9. 设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有, 则称在上依测度收敛于.10. 设, 则的子列, 使得.二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若可测, 且,则.2. 设为点集, , 则是的外点. 3. 点集的闭集.4. 任意多个闭集的并集是闭集. 。

2、5. 若,满足, 则为无限集合.三, 计算证明题1. 证明:2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有, 证明是可测集.4. 设是集, .求.5. 设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求.6. 求极限: .实变函数试题解答一 填空题1. .2. 3. ;
.4. 闭集.5. 6. .7. 几乎处处收敛于 或 收敛于.8. 对有.9. 10. 于.二 判断题1. . 例如, , , 则且,但.2. . 例如, , 但0不是的外点.3. . 由于.4. . 例如, 在 中 。

3、, , 是一系列的闭集, 但是不是闭集. 5. . 因为若为有界集合, 则存在有限区间, , 使得, 则于.三, 计算证明题.1. 证明如下:2. 中任何一个元素可以由球心, 半径为唯一确定, , 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集. 3. 令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故,令, 得到, 故可测. 从而可测.4. 已知, 令, 则.5. 将积分区间分为两两不相交的集合: , , , 其中为集, 是的余集中一切长为的构成区间(共有个)之并. 由积分的可数可加性, 并且注意到题中的, 可得 6. 因为在上连续, 存在且与的 。

4、值相等. 易知由于在上非负可测 ，且广义积分收敛 ， 则在上可积 ，由于 ，， 于是根据勒贝格控制收敛定理 ， 得到.一、判定下列命题正确与否 ， 简明理由(对正确者予以证明 ， 对错误者举处反例)（15分 ， 每小题3分）1. 非可数的无限集为c势集 2. 开集的余集为闭集 。
3. 若mE=0 ， 则E为可数集 4. 若 |f(x)| 在E上可测 ， 则f(x) 在E上可测 5. 若f(x) 在E上有界可测 ， 则f(x) 在E上可积 二、将正确答案填在空格内（共8分 ， 每小题2分）1. ______可数集之并是可数集 。
A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个 2. _____闭集之并交是闭集 。
A. 任意 。

5、多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3. 可数个开集之交是_____A开集 B闭集 C F型集 D G型集 4. 若 |f| 在E上可积 ， 则_______A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分 ， 每小题3分） 。
四、证明下列集合等式（共6分 ， 每小题3分）：1. S-S=(S-S) 2. Efa=Efa- 五、证明：有限个开集之交是开集 。
举例说明无限个开集之交不一定是开集 。
（8分）六、证明：设f(x) ， f(x)为可积函数列 ， f(x)f(x) a.e于E ，。

6、且|f|d|f|d ， 则对任意可测子集eE有? |f|d|f|d（7分）七、计算下列各题：（每小题5分 ， 共15分）1. sin(nx)d=? 2. 设f(x)=求d=? 3. 设f(x)= ?n=2,3, ?求d=? 一、判定下列命题正确与否 ， 简明理由(对正确者予以证明 ， 对错误者举处反例) 1. 非可数的无限集为c势集 ， （不正确！如：直线上的所有子集全体不可数 ， 但其势大于c） 。
2. 开集的余集为闭集 。
（正确！教材已证的定理） 。
3. 若mE=0 ， 则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0 ， 但是C势集） 。
4. 若 |f(x)| 在E上可测 ， 则f(x) 在E上可测（不正确！如） 5. 若 。

7、f(x) 在E上有界可测 ， 则f(x) 在E上可积（不正确！如有界可测 ， 但不可积） 二、将正确答案填在空格内1 至多可数个 可数集之并是可数集 。
A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个2.有限个 闭集之并交是闭集 。
A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个3.可数个开集之交是 G型集A开集 B闭集 C? F型集 D? G型集 4.若 |f| 在E上可积 ， 则 f在E上几乎处处有限 A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材 ， 不赘述！） 。
四、 。

8、证明下列集合等式1.S-S=(S-S) 解：=(S-S)2 。
Efa=Efa-证明： 所以 ， 同理 ， ? 故五、证明：有限个开集之交是开集 。
举例说明无限个开集之交不一定是开集 。

来源：(未知)

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标题：函数|实变函数测试题与答案