16、____,则称为 上的有界变差函数 。
三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;
若不成立,则举反例说明.1、设 ， 若E是稠密集 ， 则是无处稠密集 。
2、若 ， 则一定是可数集.3、若是可测函数 ， 则必是可测函数 。
4设在可测集上可积分 ， 若 ， 则四、解答题（8分2=16分）.1、（8分）设， 则在上是否可积 ， 是否可积 ， 若可积 ， 求出积分值 。
2、（8分）求五、证明题（6分4+10=34分）.1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.2、（6分）设是上的实值连续函数 ， 则对于任意常数是闭集 。
考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差 。
4、（6分）设在上可积 ， 则. 。

17、得 分阅卷人复查人5、（10分）设是上有限的函数 ， 若对任意 ， 存在闭子集 ， 使在上连续 ， 且 ， 证明：是上的可测函数 。
(鲁津定理的逆定理)一、判定下列命题正确与否 ， 简明理由(对正确者予以证明 ， 对错误者举处反例)（15分 ， 每小题3分）11. 非可数的无限集为c势集12. 开集的余集为闭集 。
13. 若mE=0 ， 则E为可数集14. 若 |f(x)| 在E上可测 ， 则f(x) 在E上可测15. 若f(x) 在E上有界可测 ， 则f(x) 在E上可积二、将正确答案填在空格内（共8分 ， 每小题2分）16. ______可数集之并是可数集 。
A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个17. _____闭集 。

18、之并交是闭集 。
A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个18. 可数个开集之交是_____A开集 B闭集 C F型集 D G型集19. 若 |f| 在E上可积 ， 则_______A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分 ， 每小题3分） 。
四、证明下列集合等式（共6分 ， 每小题3分）：20. S-S=(S-S)21. Efa=Efa-五、证明：有限个开集之交是开集 。
举例说明无限个开集之交不一定是开集 。
（8分）六、证明：设f(x) ， f(x)为可积函数列 ， f(x) 。

19、f(x) a.e于E ， 且|f|d|f|d ， 则对任意可测子集eE有?|f|d|f|d（7分）七、计算下列各题：（每小题5分 ， 共15分）22. sin(nx)d=?23. 设f(x)=求d=?24. 设f(x)= ?n=2,3, ?求d=?一、判定下列命题正确与否 ， 简明理由(对正确者予以证明 ， 对错误者举处反例)6. 非可数的无限集为c势集 ， （不正确！如：直线上的所有子集全体不可数 ， 但其势大于c） 。
7. 开集的余集为闭集 。
（正确！教材已证的定理） 。
8. 若mE=0 ， 则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0 ， 但是C势集） 。
9. 若 |f(x)| 在E上可测 ， 则f(x) 在E上可测（不正确！如 。

20、）10. 若f(x) 在E上有界可测 ， 则f(x) 在E上可积（不正确！如有界可测 ， 但不可积）二、将正确答案填在空格内1 至多可数个可数集之并是可数集 。
A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个2.有限个闭集之并交是闭集 。
A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个3.可数个开集之交是 G型集A开集 B闭集 C? F型D? G型集4.若 |f| 在E上可积 ， 则 f在E上几乎处处有限A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材） 。
四、证明下列集合 。

21、等式1.S-S=(S-S)解：=(S-S)2 。
Efa=Efa-证明：所以 ， 同理 ， ? 故五、证明：有限个开集之交是开集 。
举例说明无限个开集之交不一定是开集 。
? 证明：（分析法证明）设要证为开集 ， 只须证明事实上 ， 取时 ， 自然有 。
? 故为开集 。
无限个开集之交不一定是开集 。
反例：设 ， 则=既不是开集 ， 又不是闭集 。
六、证明：设f(x) ， f(x)为可积函数列 ， f(x)f(x) a.e于E ， 且|f|d|f|d ， 则对任意可测子集eE有|f|d|f|d证明：因为f(x)f(x) a.e于E ， 对任意由Fatou引理知|f|d|f|d而已知|f|d|f|d ， 则对任意由Fatou引理知：一方面|f|d= |f|d|f| 。

【函数|实变函数测试题与答案】22、d另一方面 ， |f|d= |f|d|f|d|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d故|f|d|f|d|f|d即|f|d= |f|d七、计算下列各题：1sin(nx)d=?解：因为?sin(nx) 0于0 ， 1 且|1则由Lebesgue控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02设f(x)=求d=?解：所以3设f(x)= ?n=2,3,? 求d=?解：因为f(x)=? ?n=2,3,在上非负可测 ， 所以由Lebesgue逐块积分定理知：d= 。
一、填空：（共10分）1如果 则称是自密集 ， 如果 则称是开集 ， 如果则称是， 称为的 .2设集合可表示为一列开集之交集： ， 则称为 .若集合 。

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标题：函数|实变函数测试题与答案( 三 )