如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量 ， 很自然 ， 当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了 。
因此上面的规定就显得非常自然合理了 。
五、 五、 典型例题例1、计算 ：圆周解：由轮换对成性 ， 得=例2、设L：为成平面区域D,计算解：（格林公式）=例3、求 ， 其中为曲面的外侧 。
解法一、将分为上半球面：和下半球面：解法二、利用高斯公式=）dxdydz=0 （对称性）例4、求曲线y=及所围成的图形的面积 。
解：求曲线的交点B(1 ， 1) ， C(,)法一、定积分法 则所求面积为A=+=法二、二重 。

【曲线|曲线积分与曲面积分知识点】8、积分法 设所给曲线围成的闭区域为D.则A=+=+=法三、曲线积分法 设所给曲线围成的图形的边界曲线为L ， 则A=+=+（）=例5、计算 ， L：从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周 。
解：法一 用曲线积分与路径无关因为在xoy面上恒成立 ， 且及在xoy面上连续 ， 所以曲线积分与路径无关 。
于是=0法二、用曲线积分与路径无关 ， 则=0 （其中C(0,R)）法三、用曲线积分与路径无关 ， 则=0法四、用格林公式因为且及在闭曲线ACBA上围成的闭区域D上连续 。
故由格林公式得=0于是 =0=0法五、用定积分计算 ， 则L的参数方程为 ， L的起点A对应与 ， 综点对应于 ， 于是=0例六、计算对坐标的曲面积分其中是的下侧解：设为 。

9、平面Z=h被锥面所围成部分的上侧 。
则=dxdydz=）dxdydz=0又=0所以 原式=0-0=0六曲线积分与曲面积分自测题一、 一、填空：（45分）1、其中L为正向星形线2、L为xoy面内直线x=a上的一段 ， 则3、设= + +， 则div=4、=其中：平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所围成的立体的表面外侧 。
二、 二、选择题（45分）1、 1、 设=P(x,y) +Q(x,y)， （x,y）D,且P、Q在区域D内具有一阶连续偏导数 ， 又L：是D内任一曲线 ， 则以下4个命题中 ， 错误的是A 若与路径无关 ， 则在D内必有B 若与路径无关 ， 则在D内必有单值函数u(x,y) ， 使得du(x,y 。

10、)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyC 若在D内 ， 则必有与路径无关D 若对D内有一必曲线C ， 恒有 ， 则与路径无关2、 2、 已知为某函数的全微分 ， 则a等于A - 1 ;
B 0;
C 1;
D 2;
3、 3、 设曲线积分与路径无关 ， 其中具有连续得到数 ， 且=0 ， 则等于A ;
B ;
C ;
D 1;
4、设空间区域由曲面平面z=0围成 ， 其中a为正常数 ， 记的表面外侧为S, 的体积为V ， 则A 0 ;
B V;
C 2V;
D 3V;
三、 三、计算（610）1、 1、 计算I=,其中为圆周：2、 2、 计算曲线积分其中L为圆周 ， L的方向为逆时针方向 。
3、 3、 计算其中L是在圆周上点（0 ， 0）到点（1 ， 1）的一段弧 。
4、 4、 算曲面积分I=其中为圆周：（绕y轴旋转一周所生成的曲面 ， 它的法向量与y轴正向的夹角恒大于 。
5、 5、 正面（在整个xoy面上是某个二元函数的全微分 ， 并求出一个这样的二元函数u(x,y) 。
6、 6、 在由点（- ， 0）到点（ ， 0）的曲线族y=acosx(a.0)中 ， 求一条曲线L,使的值最小 。

来源：(未知)

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标题：曲线|曲线积分与曲面积分知识点( 二 )