1、第十章 曲线积分与曲面积分一、 一、 重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、 二、 难点对曲面侧的理解 ， 把对坐标的曲面积分化成二重积分 ， 利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分 ， 及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分 。
三、 三、 内容提要1 1 曲线（面）积分的定义：（1） （1） 第一类曲线积分（存在时）表示第i个小弧段的长度 ， （）是上的任一点小弧段的最大长度 。
实际意义： 当f(x,y)表示L的线密度时 ， 表示L的质量；当f(x,y) 1时 ， 表示L的弧长 ， 当f(x,y)表示位于L上的柱面在点（x,y）处的高时 ， 表示此柱面的面积 。
（2） （2） 第二类曲线积分( 。

2、存在时)实际意义：设变力=P(x,y) +Q(x,y) 将质点从点A沿曲线L移动到B点 ， 则作的功为： ， 其中=（dx,dy）事实上 ， 分别是在沿X轴方向及Y轴方向所作的功 。
（3） （3） 第一类曲面积分(存在时)表示第i个小块曲面的面积 ， （）为上的任一点 ， 是n块小曲面的最大直径 。
实际意义：当f(x,y ， z)表示曲面上点（x,y,z）处的面密度时 ， 表示曲面的质量 ， 当f(x,y,z) 1时 ， 表示曲面的面积 。
（4） （4） 第二类曲面积分（存在时）其中 ， 分别表示将任意分为n块小曲面后第I块在yoz面 ， zox面 ， xoy面上的投影 ， dydz ， dzdx ， dxdy分别表示这三种投影元素;
（）为上的任一点 ， 是n 。

3、块小曲面的最大直径 。
实际意义：设变力=P(x,y ， z) +Q(x,y,z) + R(x,y,z) 为通过曲面的流体（稳定流动且不可压缩）在上的点（x,y,z）处的速度 。
则表示在单位时间内从的一侧流向指定的另一侧的流量 。
2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质（1） （1） 被积函数中的常数因子可提到积分号的外面（2） （2） 对积分弧段（积分曲面）都具有可加性（3） （3） 代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性 ， 即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关=3、曲线（面）积分的计算（1） （1） 曲线积分的计算a、 a、 依据积分曲线L的参数方程 ， 将被 。

4、积表达式中的变量用参数表示b、 b、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限（2） （2） 曲面积分的计算方法1、 1、 第一类曲面积分的计算a 将积分曲面投向使投影面积非零的坐标面b 将的方程先化成为投影面上两变量的显函数 ， 再将此显函数代替被积表达式中的另一变量 。
C 将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素2、 2、 第二类曲面积分的计算a 将积分曲面投向指定的坐标面b 同1c 依的指定的侧决定二重积分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1） （1） 格林公式其中P、Q在闭区域D上有一阶连续偏导数 ， L是D的正向边界曲 。

5、线 。
若闭区域D为复连通闭区域 ， P、Q在D上有一阶连续偏导数 ， 则=其中（=1 ， 2n）均是D的正向边界曲线 。
（2） （2） 高斯公式=）dxdydz其中P、Q、R在闭区域上有一阶连续偏导数 ， 是Q的边界曲面的外侧（3） （3） 斯托克斯公式=其中P、Q、R在包含曲面在内的空间区域内具有一阶连续偏导数 ， 是以为边界的分片光滑曲面 ， 的正向与的侧向符合右手规则 。
5、平面上曲线积分与路径无关的条件设P、Q在开单连同区域G内有一阶连续偏导数 ， A、B为G内任意两点 ， 则以下命题等价：（1）与路径L无关（2）对于G内任意闭曲线L, (3) 在G内处处成立（4）在G内 ， Pdx+Qdy为某函数U(x,y)的全微分6、通量 。

6、与散度、环流量与旋度设向量=P(x,y ， z) +Q(x,y,z) + R(x,y,z) 则通量（或流量）= 其中 =（cos, cos, cos）为上点（x,y,z）处的单位法向量 。
散度 div = + 对坐标的曲面积分与的形状无关的充要条件是散度为零 。
旋度 环流量 向量场沿有向闭曲线的环流量为=四、 四、 难点解析本章中对在xoy面上的投影（为（=其中为有向曲面上各点处的法向量与Z轴的夹角余弦 。
为在xoy上投影区域的面积 。
此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选择 ， 此规定貌似复杂 ， 但其最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义的量 。
比如 ， 当温度高于零度时用正 。

7、数表示 ， 当温度低于零度使用负数表示 。
从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量 。

来源：(未知)

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标题：曲线|曲线积分与曲面积分知识点