110 、已知f ( x) 是 , 上有界变差函数 ， 求证：an ,bnO()， n其中 an ,bn 是 f (x) 的傅里叶系数 。
南京大学 2009 年数学分析考研试题解答1 解 尽管 (0,1) 。

11、 中的有理数的个数是可数的 ， 但(0,1) 中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列 ， 理由如下：（ 1）由于 (0,1) 中无最小的有理数 ， 也无最大的有理数；（ 2）用反证法 ， 假若 (0,1) 中的有理数按由小到大的顺序排成了一列r1r2r3.， ( r1, r2 ) 中应没有有理数了 ， 而(r1, r2 ) 中仍有有理数r1r2， 矛盾 。
22解由级数an 收敛 ， 未必退出an2 收敛 。
n 1n 1反例：设 an(1)n1 ， n显然an 收敛 ， 但an2 发散 。
n 1n 13解设Mmax a, b则有nnnn2Mab ， Mlim n 2MM， n由夹逼定理 ， 知lim n anbnMmax a, b。
n4。

12、解 lim(11)x2x0x sin xl i msi nxxx0x2 s i nxsin xxlimx3x0cos x1lim3x2x0sin xlimx06x1 。
65 解 由 f ( x) 在 0,1 上可导 ， 即f ( x) 在 0,1 上存在 ， 但 f ( x) 未必在 0,1 上有界 。
反例： f ( x)x2 sin 1 , x(0,1x2 ， 0, x0f (1)2 n( 1)n， nf ( x) 在 0,1上无界 。
6 证明 不妨设 x0 是 f (x) 的唯一的极小值点 ， 则存在0 ， 当 0xx0时 ， 有f (x)f ( x0 )， 我们要断言 ， 对所有xR，f (x)f ( x0 )。
用 。

13、反证法 ， 假若存在x1R， 使得 f ( x1 )f ( x0 )， 不妨设 x1 x0， 由连续函数的介值性 ， 存在(x0 , x1 )， 使得 f ()f ( x0 )， f ( x) 在 x0 , 的内部达到最大值 ， 因而也是极大值 ， 这与有唯一性的极值点相矛盾 ， 所以f (x0 ) 是最小值 ， 结论得证 。
7 证明 由 f (x) 0， 知 f (x) 在 0,1 上是上凸函数 ， 对任意 x1, x20,1，01 ， 有f (1) x1x2 )(1) f ( x1 )f ( x2 )， 对 x 0,1， 有f (x) f (1 x) 0x 1)(1x) f (0)xf (1)x。
1f ( x, y) 。

14、dxdyf ( x0 , y0 )8 解h2B ( z , h )012h12hlimh0 f ( x, y)B ( z0 ,h)h2dr f ( x000h2dr f ( x0002f ( x0 , y0 ) dxdyr cos, y0r sin)f ( x0 , y0 ) rd ， r cos, y0r sin)f ( x0 , y0 ) rdh4 f (x0h cos, y0hsin)f ( x0, y0 )dlim024hh02f cosfsin dlim0xy8hh0222221lim2fcosf sin) cos(f cos2f sin)sin d(8h00xy xx yy1222f。

15、(z0 ) cos22f2f2 (z0 )sin 2lim2( z0 )sincos d8h00xx yy12 f2( z0 )22f (z0 )8xy1 (22f ( z0 )22f (z0 )。
8xy9 解n1 ( x, y, z)， Rxdydzydzdxzdxdy1 ( x2y2z2 )dSRRdSR 14R28R3。
210 证明f ( x) 是 , 上有界变差函数 ， 所以 f ( x) 在 , 上可积 ， 1f ( x)sin nxdxan111 ，(f (x ) c onsx )fx( ) c no xs d x nn1所以 anM ， n对 bn1f ( x)cos nxdx， 1同理有 bnMn结论得证 。

稿源：(未知)

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标题：南京大学|南京大学和2009年数学分析考研试题及解答( 二 )