1、南京大学 2008 年数学分析考研试题一 设 f (x) 为 R1 上的周期函数 ， 且 limf (x)0， 证明 f恒为 0 。
x二 设定义在 R2上的二元函数 f (x, y) 关于 x，y 的偏导数均恒为零 ， 证明f 为常值函数 。
三 设 f n ( x) (n1,2,.) 为 Rn 上的一致连续函数 ， 且 lim fn (x)f (x)， x R1， n问： f (x) 是否为连续函数？若答案为“是” ， 请给出证明；若答案为“否” ， 请给出反例 。
四 是否存在 0,1 区间上的数列 xn， 使得该数列的极限点（即聚点）集为0,1， 把极限点集换成 (0,1) ， 结论如何？请证明你的所有结论 。
五 设。

2、f (x) 为 0,) 上的非负连续函数 ， 且f ( x)dx ， 问 f (x) 是否在 0,) 上有0界 ? 若答案为“是”， 请给出证明；若答案为“否”， 请给出反例 。
六 计算由函数f1 ( x)1x2 和 f 2 ( x)x2 1的图像在平面R2 上所围成区域的面积 。
2七 计算积分e (2 x2 2 xy y2 ) dxdy。
R2八 计算积分xyzdxdydz ， 其中为如下区域：( x, y, z)R3 : x0, y0, z0, xyza， a 为正常数 。
设 an 0 (nnan九1,2,.)，Snak ， 证明：级数是收敛的 。
k 1n 1 Sn2十方 程 x22 y23 z32 x yz 。

3、7在 (1, 2,1)附 近 决 定 了 隐 函 数 zz( x, y) ，求2 z ( 1 , 2的)值 。
x y十一求函数 f ( x, y, z) x3y3z3 在约束条件 xy z2，x2y2z212 下的极值 ， 并判断极值的类型 。
十二1 ， 且 f (0)f (1) 0， 证明：12112dx。
设 f C 0,1 f (x)dx f (x)040十三设 f ( x) 为 0, 上的连续函数 ， 且对任意正整数n1 ， 均有f ( x) cos nxdx 0， 证明：f 为常值函数 。
0南京大学 2008 年数学分析考研试题解答一证明 设 f (x) 的周期为 T，T0， 则有f ( xnT。

4、)f (x)， 由条件知 ， f ( x)limf ( xnT )0 ， n结论得证 。
二证明 因为f0， f0， xyf ， f 在 R2上连续 ， 对任意(x, y)R2 ， 有xyf (x, y)f (0,0)f (x,y)xf(x,y)y0， xy所以 f ( x, y)f (0,0)， 即 f (x, y) 为常值函数 。
三解f ( x) 未必为连续函数 。
xn反例： fn (x)n， 1xf n ( x) 在 R1上连续 ， 又 lim fn (x)1， 所以 f n ( x) 在 (,) 上一致连续 ， x0, x1limfn ( x)f ( x)1 , x1 ， x21, x1显然 f ( x) 在 (,) 上不连 。

5、续 。
四解（ 1）存在 。
取 0,1 中的有理数形成的点集I rn， 则有 I 0,1。
（ 2）不存在 。
假若存在 I xn， 使得 I(0,1)， 由于 I是闭集 ， 而(0,1) 为开集 ， 矛盾 ， 所以这样的点列不存在 。
五未必有 f ( x) 在 0,) 上有界 ， 未必有limf ( x)0。
x六解 显然两曲线的交点横坐标为x12 ，x223 ， 321 x2 dxS32 ( x2 1)32223 (3 x2 1)dx0 22(1 x3x)232021 (2 ) 32 23346 。
9七 解 显然这个二重广义积分是收敛的 。
由e x2dx ， e (2 x22 xyy2 ) dxdyR2dxe x2 e ( y。

6、x)2 dye x2 dxe ( y x)2 dye x2dx 。
八 解xyzdxdydzaa xaxydxdyxyzdz000十 解2x 9z2 zx2y zx0， 4 9 z2 zy2x zy0， 18zz z 9z2 z2z0。
y xxyxy十一解 L(x3y3z3)( x y z 2)(x2y2z2 12)L3x22x0， xL3 y22y0， yL3z22z0， z3( x2y2z2 ) 32 ( x y z) 0， 3 123220 ， 36 340。
f ( x)f (0)xf(t )dtx(t )dt， 十二证明0f0x1x21f ( x)f(t ) dtx 2 (fdt)2， ( 。

7、t)00f ( x)2xf(t)2x1f (t )2 ， xdt0dt0于是11 (1)21f (x) dx， 2 f (x) dx222200f (x)f (1)1(t) dt1f (t )dt， fxx11121f ( x)(t ) dt(1x) 2 (t )2， ffdt )xxf ( x)2(112dt， x)f (t)01 f (x) dx1(1)21f (x) dx， 1222220121212112dx2f ( x)dxdx故有f ( x)1 f ( x)4f ( x) dx。
0020十三证明 作函数 F ( x)，F ( x) 是周期为 2的偶函数 ， 当 x(0,) 时 ，F。

8、( x)f ( x)， 则 F (x) 在 (,0)(0,) 上连续 ， 在 , 可积 。
an1F ( x)cos nxdx2F ( x)cos nxdx0，(n1,2,.)0a02f (x)dx， 01F ( x)sin nxdx0， bna0( an cosnxbn sin nx)F ( x)， 2n 1a0Na0， SN ( x)( an cosnxbn sin nx)2n12 SN (x) 在 L2 , 中收敛于 F ( x)， lim2F (x) SN ( x) dx 0， N2F ( x)a0dx0， 22f ( x)a0dx0， 02a02由 f ( x) 在 0, 上连续 ， 知f。

【南京大学|南京大学和2009年数学分析考研试题及解答】9、( x)0， 2即得 f ( x)a0 ，f (x) 在 0, 上为常值函数 。
2南京大学 2009 年数学分析考研试题1 开区间 (0,1) 内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列 ， 请说明理由 。
2若级数an 收敛 ， 则是否有an2 收敛 ， 是请证明；否请举反例 。
n 1n13设 a,b0， 求 lim n anbn。
n4求 lim(11)。
x 0x2x sin x5若函数f ( x) 在 0,1 上可导 ， 则f ( x) 是否一定有界 ， 是请证明；否请举反例 。
6 函数 f : RR 连续 ， 且有唯一的极值点 ， 证明：这个唯一的极值点一定是最值点 。
7函数 f ( x) 在 0,1 上有二阶导数 ， f (0 。

10、)0，f (1)1 ，f ( x)0， 求证： f ( x)x，x0,1 。
8函数 f ( x, y) 是一个 C 2函数 ，z0(x0 , y0 )， 计算lim h 212f ( x, y)dxdyf ( x0 , y0 )。
h0hB ( z ,h )09计算 xdydzydzdxzdxdy ， 其中是八分之一球面( x, y, z) : x, y, z 0, x2y2z2R2， 方向朝外 。

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