1、第6章塑性应力-应变关系在20世纪50年代 ， 经典塑性理论有了很大的发展 ， 表现在：（1）极限分析的基本定理（Drucker 等 ， 1952）;
（ 2） Drucker 假设或稳定材料的定义（ Drucker ，1951）;
（ 3）正交性 条件的概念或关联流动法则（Drucker, 1960 ）等的建立和发展 。
理想塑性体的极限分析理论产生了能更直接地估计结构和土体承载力的实际方法（Chen ， 1982 ， Chen和Liu ， 1990） 。
稳定材料的概念提供了一个统一的方法和塑性体的应力-应变关系的广义观点 。
正交性条件的概念提供了塑性应力一应变关系的屈服准则或加载函数之间的必要联系 。
所有的这些进展导出了金 。

2、属塑性经典理论严格的基础 ， 也为后来土体、岩石和混凝土类的其他材料的更复杂的塑性理论发展打下了基础（Chen和Han, 1988 , Chen和Mizuno , 1990） 。
6.1加载准则在应力空间上的屈服面确定了当前的弹性区的边界 。
如果一个应力点在屈服面的里面 ， 就称之为弹性状态而且只有弹性特性；如果一个应力点在屈服面上 ， 其应力状态为塑性状态 ， 产生弹性或者弹塑性特性 。
在数学上 ， 弹性状态和塑性状态作如下定义：f 0时 ， 弹性状态 f 0时 ， 塑性状态 这里 ， f就是在应力空间定义了屈服面的屈服函数 。
对于强化材料 ， 如果应力状态趋向于移出屈服面的趋势 ， 则可获得一个加载过程 ， 而且能观察到弹塑性变形；会产生附加 。

3、的塑性应变且当前的屈服（或加载）面构形也会发生改变 ， 使应力状态总保持在后继加载面上 。
如果应力状态有移进屈服面以内的趋向 ， 则称为卸载过程 ， 此时只有弹性变形发生 ， 加载面仍然保持原样 。
应力从塑性状态开始改变的另一种可能 就是应力点沿着当前屈服面移动 ， 这个过程叫做中性变载 ， 与其相关的变形是弹性的 。
区分这些现象的数学表达式就叫做加载准则 ， 可用下列式子表示f 0且d ij0时 ， 加载ijf 0且一Ld ij0时 ， 中性变载（6-1）ijf 0且d ij0时 ， 卸载ijn：的方向总是沿着屈服面ij6-1作简单的说明 。
通常 ， f函数形式是这样定义的 ， 使得梯度矢量 f 0向外的法线方向 。
因此 ， 这些加载准则能用图6-10 。

【塑性|塑性应力-应变关系01分析】4、加载面f 0(b)(a)图6-1加工强化材料的加载准则（a ）单轴情况； （b ）多轴情况对于理想塑性材料 ， 当应力点沿着屈服面移动时 ， 能观察到弹塑性变形 。
但是 ， 它并不总是引起塑性变形而有可能被归到中性变载情况 ， 因此对这种材料的加载准则给出定义如下f0且一Ldij0时 ， 加载或中性变载ijf0 且dij0 时 ， 卸载（6-2）ij应当指出 ， 加载和中性变载过程不能用上述准则加以区别 。
已经有人提出表述加载准则的不同的形式 ， 可以用应变增量代替应力增量作出判断f 0且Cjki d ki 0时 ， 加载ijf0且Cjkid ki0时 ， 中性变载（6-3）ijf0且Cjkid ki0时 ， 卸载ij在这里 ， Cijki是弹 。

5、性刚度张量 。
在 Chen等（Chen和Zhang, 1991）的论文中可以找到 关于上述加载准则的进一步讨论 。
对于理想塑性材料来说 ， 这种形式更具普遍性也更适用 。
例如即将在后面 6.3.1节中看到的 ， 对于理想塑性材料 ， 即使当 d ij0时也能找到塑ij性应变增量的值为零 ， 也就是在式（6-4）中定义的d 0 。
这是在式（6-4）中定义的中性变载过程 。
在有限元分析中 ， 需要从给出的或已知的应变增量中算出应力增量 ， 这个计算需要给出或知道发生的变形是哪种形式 。
式（6-1）和式（6-2）中惯用的准则并不很方便 ， 因为要用他们就必须知道应力增量 ， 而后面式（6-3）中的准则能使我们用很直接的方法去解决这个难点 。
6- 。

6、36.2流动法则必须定义出塑在加载过程中会产生塑性应变 ， 为了描述弹塑性变形的应力一应变关系 ， 性应变增量矢量d jp的方向和大小 ， 即：（1 ）各分量的比率；（2）它们相应于应力增量 d i 的大小 。
下面将以一个类似于理想流体流动问题的方式介绍塑性势能函数g的概念 ， 我们把流动法则规定如下：d jpdgij(6-4)6-17其中 ， d是一个贯穿于整个塑性加载历史的非负标量函数 。
梯度矢量g/ ij规定了塑性应变增量矢量d jp的方向 ， 也就是势能面g 0在当前应力点的法线方向 ， 由于这个原因 ， 该流动法则也称作正交条件 。
另一方面 ， 塑性应变增量矢量的长度或大小由d确定 。
如果塑性势能面与屈服面有相同的形状 ， 也就是 。

7、g f ， 那么流动法则与屈服条件是相关联的 ， 可用下式表示为(6-5)d jp d -ij在这种情况下 ， 塑性应变沿着当前加载面的法线方向产生 。
式（6-5）中的正交条件虽很简单 ， 但以此为基础建立的任何应力一应变关系 ， 对一个给定的边界值问题有惟一解 。
6.2.1 von Mises形式的塑性势能函数von Mises函数在应力空间中表示为圆柱体 ， 其偏截面如图6-2所示 。
这个塑性势能函数表示为g（ ij）, J2 k 0（6-6）其中 ， k为常数 。
因此 ， 由流动法则可得d jpSjd（ 6-7）此式表明 ， 应力主轴和塑性应变增量张量相应主轴是一致的 ， 从式（6-7）可得到d kk Skkd 0（ 6-8）所以 ， 对 。

8、这种类型的材料 ， 体积变化是纯弹性的 ， 不能产生塑性体积变化 。
von MisesATresca图6-2 在偏平面上的 Tresca和von Mises准则由式(6-7)可推出pd xd ； ddpd ppxyyzd zx.(6-9)dSxSysZ22 2xyyzzx上述等量关系就是Pran dtl-Reuss 方程 。
它是Prandtl在1925年扩展了原先的Levy Mises方程(式6-10)得到的 ， 而且第一次提出了理想弹塑性材料在平面应变情况下的应力应 变关系 。
Reuss在1930年又把Prandtl方程扩展到三维情况并给出式(6-9)的一般形式 。
在大塑性流动的问题中 ，弹性应变可以忽略不计 。
。

9、 在这种情况下 ， 材料可以被认为是理 想刚性塑性体 ， 总的应变增量d ij和塑性应变增量d ,可以认为相等 。
这种材料的应力一应变关系可以写成d jsjd(6-10 a)或d xd yd zd xyd yzd zx.d(6-10 b)sxsysz2 xy2 yz2 zx这个等量关系式就是Levy Mises方程 。
在它们的发展过程中 ， St. Venant 在1870年第一个提出了应变增量主轴与应力主轴重合 ， 上面的应力应变关系由Levy在1871年和von Mises在1913年分别提出 。
6.2.2 Tresca形式的塑性势能函数在主应力空间 ， Tresca函数表示为由六个平面组成的正六角棱柱体 。
这个棱柱 。

10、的偏平面见图6-2 。
假设主应力的大小次序是123 ， 那么就能定出相应的势能函数为g 13 2k 0(6-5) ， 与Tresca势能涵数相关联的主应变增量则为(d 1p, d 2p, d 3p) d (1, 0,1)3大小的其他五种代数顺序的组合可以得出类似的结果 。
其中 ， k为常数 。
根据式对于主应力12(a)2,d3,d2k2 2k(6-11)(6-12)图6-3与Tresca屈服准则函数相关的流动法则(a)塑性应变增量矢量的正则性(b )作为光滑面极限的顶点 A在一个如图6-3( a)所示的主应力(主应变)增量组合空间里 ， 塑性应变增量能用几何 图形来讨论 。
可以看出在i 23的平面AB上的任何地方 ， 塑 。

11、性应变增量的方向都互相平行且垂直于 Tresca六角棱柱体的 AB面 。
对于六角棱柱体的其他平面也能得到类似的 关系 。
在某些特殊情况下 ， 比如123 ， 情况就更复杂 ， 因为最大剪应力值不仅在平行于 X 轴的45剪切面上 ， 而且在平行于 X3轴的45剪切面上与屈服值 k相等 。
因此有两种塑性应变增量的可能：(1)max1 ,min3(d 1p,dp A2 ,d3P)d1(1, 0,1) ， 对于d 10(2)max1 ,min2(d 1p,d2p,d3P)d2(1, 1,0) ， 对于d 20在这种情况下 ， 假定塑性应变增量矢量是前面所给两个增量的线性组合 ， 即(d ip,d 2P,d 3P)d i(1, 0, 1)。

12、d 2(1,1, 0) ， 对于 d i, d 20(6-13)这种假定适合于当前应力状态j位于塑性势能面的顶点或奇异点的特殊情况 。
一般地 ， 塑性应变增量矢量必须位于六边形两相邻边的法线方向之间(图6-3( b ) 。
一般地 ， 在几个光滑势能面相交的奇异点处 ， 应变增量通常可以表示成 ， 在这点相交的各面的法线方向所确定的增量的线性组合 ， 即dijpgkk(6-14)ij式(6-13)、式(6-14)表明 ， 在顶点处 ， 塑性应变增量的方向是不确定的 ， 要克服这个难 点的一个办法 ， 就是使顶点处光滑而且把Tresca势能面看作这个光滑面的极限情况 。
为此,我们采用Tresca函数的另一种形式(6-15).J2 sin此处 ，。

13、在0与/3之间取值 。
当0或=一时 ， 上式简化为3(6-16)实际上 ， 上式就是 von Mises准则 ， 而且表明顶点处的塑性应变方向由外接Tresca面的von Mises面来确定 。
相反地 ， 塑性势能面的顶点能被看作光滑表面的极限情况 ， 而且对于 角点处仍作为光滑面可应用流动法则 。
如相应于Tresca面的光滑面就是 von Mises面 ， 如图6-2和图6-3 ( b )中的点A所示 。
6.3理想塑性材料的增量应力-应变关系 应变增量矢量d jP是在塑性势能面的法线方向 。
接着再确定d ,的大小 ， 即d， 一旦d确 定 ， 就能建立d ij和d jP之间的关系 。
理想塑性材料的加载准则要求应力增量矢量d j相切于 。

14、屈服面 ， 而流动法则要求塑性6.3.1 一般形式设主应变增量为弹性应变增量与塑性应变增量之和 ， 即(6-17)d ij d i： d j弹性应力增量与应变增量的关系通过虎克定律确定d ijCijkl d kl(6-18)塑性应变d从式（6-4）中的流动法则可以得到 。
在式（6-18）中 ， Cijkl是弹性刚度张量 。
那么对理想弹塑性材料来说 ， 应力一应变关系可以表示成d ij Cijkld kl dg(6-19)kl其中 ， d是一个特定的非负标量 。
在塑性变形时 ， 应力点停留在屈服面上, 示成这个补充的条件叫一致性条件 。
用数学式子表f( ij)0, f( ijd ij) f( ij)df( ij)0(6-2 。

15、0)或者用增量的形式可以写成df-d j 0ij(6-21)正如式（6-2）中所见 ， 在加载或中性变载时上式是满足的 。
把弹性应力一应变关系式（6-19）代入式（6-21）中解出d， 有其中这个等式表明 ， 即使当应力增量d也就是说 ， 只要（fij） C ijkl dij-Cijkl d klij-Gjklijklij在屈服面上移动 ， （f0 ， 就不会产生塑性应变,(6-22)(6-23)ij )d ij 0 ,仍能为零 。
这是理想塑性材料的中性加载过程 ， 正如式（6-3 ）所分类的那样 。
对于一个给定的应变增量d j ,可以利用式（6-19）、式（6-22）计算出应力增量 d j ,联立式（6-19）和式（6- 。

16、22）可以用数字方法推导出d ij和d ij之间的明确关系 。
dijCijkl d kl(6-24)这里 ， C席是弹塑性刚度张量 ， 表示为epCijkl1CijklH ij H klH(6-25)其中HiijCijklg Hf C,H klC pqklmnpq(6-26)注意到,f / ii 与 d ii 和 dii无关 ， 我们可以从式（6-21）中发现 ， 应力增量d j的分量之间存在线性关系 ， 因为最终应力状态必须在屈服面上 。
利用式（6-24）中应力增量d 可由应变增量d j惟一确定 。
然而 ， 我们不能惟一地建立逆关系 ，对于一个给定的应力增量d j ， 只是在待定因子 d范围内才能定义应变增量d j 。
这一点 。

17、可以通过图6-4（ a）中所示的单轴材料特性很好地解释 。
理想弹塑性材料（b）屈服面和加载、卸载准则的几何关系图6-4（a）单轴应力一应变关系；6.3.2 Prandtl -Reuss模型(J2理论)在von Mises屈服准则和与它相关联的流动法则基础上导出的理想弹塑性应力一应变关 系 ， 就是大家所熟悉的 Prandtl-Reuss材料模型 。
在这种情况下 ， 屈服函数f和势能函数g 定义为_f g . J2 k（6-27）其中 ， k为常数 ， 这个模型可能是在工程实际中用得最广泛 ， 也许是最简单的理想弹塑性材料的模型 。
把式（6-27）代入式（6-25）就可以得到Prandtl - Reuss模型的完整的应力 。

18、应变关系 。
设弹性状态是线性的和各向同性的 ， 则有其中 ，和都是Lame常数 。
ij kl( ik jl il jk)k2sij ski(6-28)如果我们用矢量的形式表示应力和应变增量 ， 即分别为d和d ,那么就可以用矩阵的形式表示张量 C：为dCePd (6-29)其中xyxyyzyzzxzxCepCCp对称CpGKG000-GK-G000K-G0G0000G0GSxSySx SzSxSxySxSyzSxSzx2SySy SzSySxySy SyzSySzx2SzSzSxySzSyzSzSzxSSxySyzSxy Szx2SyzSyzSzx2Sx2SzxG对称(6-30)K和G分别是体积模量和剪 。

19、切模量 。
像前面所讨论的一样 ， 应变增量d j不能由应力增量d j惟一确定 。
这表明Cep的逆阵不存在 ， 或者说矩阵 Cep是奇异矩阵 。
从式(6-4)和式(6-22) ， 也可得到dijP2kSjd ij(6-31)这些等式清楚地说明 ， 塑性应变增量态所需的应力（应变）增量 。
对这种材料 ， 可以导出d ,取决于偏应力状态的当前值 ， 而不是达到新的状 pJ 2dW pijd ijijSijdkd(6-32)因此得dWP(6-33)因此 ， 由d确定的塑性应变增量的实际值与在塑性变形功 把式（6-31）代入式（6-32）可得dWP中的实际增量大小有关 。
dWp sj dq因此 ， dWp也被看作是由于畸变所产生的塑性功增量 ， 注 。

20、意到塑性变形过程中 ， 由于deq ds G 和 dJ2 sij dsij0 ， 所以dWp也可以表示为dWp sj dqp6.3.3 Drucker Prager 模型这里讨论具有关联流动法则的Drucker Prager材料模型 。
Drucker Prager屈服函数f采用下面的形式：f J J k其中 ，和k均为正常数 。
在主应力面中的屈服面 f 0是一个正圆锥 ， 其轴与每一个坐标轴的倾斜相同而且顶点在静水轴上 。
对于线性各向同性 f g 2I1epijkl(K 2G) ij kl G(Jik jlk的理想弹塑性材料 ， 根据式（6-25）有1il jk ） 9k2G H ij H kl（ 6-34）其中H 。

21、j 3KGQ. ijij J2弹塑性本构矩阵为o o o o O o o o o G o o o G G G G 2-32-34-3G G2-34-3KG4 - 3KeeH 22 H 33H22H12H 22 H 23H 22 H 31H33H33H12H 33 H 23H 33 H 31HiH 12 H 23H 12 H 31h23H 23H 31H3H 11H 33 H 11 H 12 H 11 H 23 H 11 H 31H 11H 221H；29K 2 G对称根据流动法则可得(6-35)Sj2,2ijpij这里利用式（6-22）,可把d表示为19K 2 G3K d kkG.J2Skid 。

22、kl(6-36)由式(6-35)导出d kk 3 d(6-37)因为 ，和d在塑性变形时均为正值 ， 所以这个等式显示了塑性状态的一个非常重要的特性 ， 即塑性变形伴随着体积的增大 ， 这个特性就是剪胀性 。
它是与静水压力有关的屈服函数的推论 。
对于一种在静水轴的负方向上屈服面张开和具有关联流动法则的材料来说 ， 塑性体积膨胀就会在屈服时发生 ， 如图6-5所示 。
【例6-1】考察在单轴应变条件下Drucker Prager材料的特征 。
【解】在这种条件下 ， 应变增量和应力状态如下:dj(d 1, 0, 0),dejld 1,1d1, Id133ij(1 ,2 ,2) ， Sj(S, S2 ， S2)因此屈服准则简化为1(1 2。

23、2)方1 2k 0(6-38)在弹性范围内 ， 应力-应变增量关系给定如下：4d i K G d i32d 2 K G d 1(6-39)3di 1 3Kd 12(k6G 9J3K(6-40)从式（6-38）和式（6-39）可以很容易地确定初始屈服应力为J3(3K4G) ui产 k6G 9J3K这里有3.36G 9 3K在上面的等式中 ， 正号对应于单轴拉伸情况,负号对应于单轴压缩的情况 。
因此 ， 对于达到屈服面的单轴应变-应力路径 ， 必须满足下面的条件:(6-41 )2G33K注意到由于 总是正值 ， 所以第一个条件总是满足的 。
从式（6-40）可以看出 ，在屈服应力上的影响 ， 就是在单轴拉伸试验（上面的正号）中 。

24、降低屈服时垂直应力1的值；在单轴压缩试验（下面的负号）中增加屈服时1的值 。
超出这个应力状态 ， 材料既有弹性变形也有塑性变形 。
从式（6-34）中得到弹-塑性关(1 23)2d1 9 2 K G系如下：K (63)(3. 3) d3(1 9 2 K G)其中上面的正号对应于 d 1 0 ， 而下面的负号对应于 d 1 0的情况 。
因为 是正值 ， 所 以在塑性变形时 1 1曲线的斜率在d 1 0时大于d 1 0时的斜率 。
图6-6中描述了单轴应变一压缩试验中Prandtl Reuss和 Drucker Prager材料模型的特性 。
对于Prandtl Reuss模型（图6-6a ）,在应力与k成比例情况下 ， 达到屈 。

25、服条件之前该曲线是弹性的 。
在 塑性区域 ， 斜率就是体积模量 K 。
卸载也是弹性的 ， 直到达到屈服面的对立面为止 ， 然后又变为塑性 ， 斜率为 K 。
当压缩应力过程完成时 ， 也就留下一个永久（压）应变 。
对于加 载不远离弹性区域的情况 ， Drucker Prager模型情况是类似的（图 6-6 b ） 。
但是若材料加载超过弹性区域之外 （图6-6c）,则残余变形是伸长的 ，这就可以被看做是三维膨胀现象的 一维情况 。
图 6-6 Prandtl Reuss和 Drucker Prager模型的单轴应变(a ) Prandtl Reuss,弹塑性 ， k 大； (b)Drucker Prager,应力小;
(c ) Drucke 。

26、r Prager ， 应力大利用式（6-36）和式（6-37） ， 可得到单轴应变条件下的膨胀或塑性体积应变增量如下:p d kk9K9K 2 G2G du3、3K其中的正号对应于d1 体积应变总是在增加 。
0 ， 而负号对应于d 10 ,注意到式（6-41） ， 可以发现塑性6.4强化法则在加载过程中 ， 屈服面不断改变它的形状以使应力点总是位于它上面 。
然而 ， 会有无数个屈服面的演化形式可以满足这个条件 ， 因此 ， 这不是一个简单地确定加载面如何发展的问题 。
实际上 ， 这是一个塑性加工强化理论中的主要问题之一 ， 这个控制加载面发展的规则被称为强化法则 。
在前面的塑性分析中提出了几个这样的法则 ， 材料响应在初期屈服之后会很不相同 ， 这 。

27、取决于所使用的特定的强化法则 。
本节将详细讨论三个简单的强化法规则 。
6.4.1各向同性强化这个法则建立在以下假设的基础上 ， 假设加载过程中的屈服面均匀膨胀 ， 没有畸变和移 动 ， 如图6-7所示 。
因此屈服面的数学表达式可以写为如下形式:f( j, ) f( j) k( )0(6-42)其中 ， k()是一个强化函数或增函数 ， 用来确定屈服面的大小 ， 是一个强化参数 ， 它的值表示了材料的塑性加载历史 。
例如 ， 对于von Mises材料 ， f 。
( j )可以作为J? ， 那么可以把屈服面表示为f( ij, ) J2 k( )0(6-43)后继屈服面O初始屈服面f 。
kfkik图6-7各向同性强化材料的后继屈服面【例6-2】利用 。

28、具有初始单轴屈服应力0(0 )的von Mises模型 ， 随后的加载试验过程为(,)(0, 0) (2 0, 0) (0, 2 0) (2 0, 2 0)假设这种材料的性质遵守各向同性强化法则 ， 画出初始屈服面和在加载路径结束时在【解】初始屈服面12 212f0 0(6-44)33后继屈服面f1 224 2亠 00在(2 0, 0)33f1224 20在(0, 2 )3122 16 2这些面表示在图6-8 中 。
在(2 0 , 2 0 )642随动强化随动强化法则假设在塑性变形过程中 ， 加载面在应力空间作刚体移动而没有转动 ， 因此初始屈服面的大小、形状和方向仍然保持不变 。
这个强化法则提供了一个考虑Bau 。

29、schi nger效应的简单方法 ， 如图 6-9所示 。
(6-45)一个随动强化材料的屈服面一般表示为f ( ij , ij ) f 0( ijij ) k 0其中 ， k是一个常数 ， j被称为反应力 ， 它给出加载面中心的坐标 。
反应力在塑性加载过程中是变化的 ， 以便说明强化响应 ， 连同随动强化法则 ， 经常为了方便起见而用折减应力ijijijk Prager强化法则随动强化法则的关键就是确定反应力j 。
最简单的方法就是假设d j与d f线性相关 ， 这就是所谓 Prager强化法则 ， 其简单形式为d ij cd ijP（ 6-46）这里 ， c为材料常数 ， 说明一个给定材料的性质 ， 也可能是状态变量的函数 ， 如的函数 。
如6.2节中 。

30、所讨论的 ， 如果使用相关流动法则 ， d ,平行于应力空间中屈服面上的当前应力点的法线矢量 。
在这种情况下 ， Prager强化法则等于假设矢量 d ij是屈服面的法线 ， 当Prager强化法则用在应力子空间时就会产生一些矛盾 ， 这一点可在下面的例题中看出 。
【例6-3】对于遵守相关流动法则和Prager强化法则的von Mises材料 ， 在空间把塑性变形刚开始之后的后继屈服面和最初的屈服面进行比较 。
【解】初始屈服面表示为6-19k1 kf 1322 k 0根据式（6-46）可得dijSjCd令刚好达到屈服面的应力状态为（a , a /） ， 则后继屈服面表示为f 12 a cd2(2.2 a22acd )kc d0 。

31、339结果表明 ， Prager强化法则导致后继屈服面在加载过程中不仅有平移而且大小也改变 ， 因此这个法则不能遵从随动强化法则的定义 。
Ziegler强化法则为了得到在子空间中也有效的随动强化法则 ， Ziegler修改了 Prager强化法则 ， 假设以(6-47)如下形式沿折减应力矢量一 ij 耳方向平移 。
d ij d ( ijj)其中 ， d是一个正的比例系数 ， 其与所经历的变形历史有关 ， 为简单起见 ， 这个系数可假 设有如下的简单形式(6-48)的函数 。
d ad其中 ， a是正的标量 ， 表示给定材料的性质 ， 也可能是状态变量的函数 ， 比如 【例6-4】用Ziegler强化法则代替 Prager法则解例6-3中的问题 。
【 。

32、解】初始屈服可表示为令屈服面上的应力状态刚好达到（a a） ， 米用式（6-47） ， 则后继屈服面表示为ad )2(ad )2k 0这些结果表明 ， 利用Ziegler强化法则时 ， 屈服面的中心移动了应力点（adad ） ， 6-23但初始屈服面的大小、形式和方向均不变 。
6.4.3混合强化如果把随动强化和各向同性强化结合起来就会得出一个更具一般性的法则 ， 称为混合强化法则：f ( ij , ij ,) f 0( ij , ij ) k( )0(6-49)在这种情况下 ， 加载面既有均匀膨胀又有平移 ， 前者用k（）度量 ， 后者用jj确定（图6-10） 。
k（）和j两个参数来模但它仍然保持最初的形状 。
采用混合强化法则 ， 就可以 。

33、通过调整 拟Bausch in ger效应的不同程度 。
在结合两种强化法则的同时 ， 把塑性应变增量分为两个共线的分量d jpd jpid jpk（ 6-50）其中 ， d ijpi与屈服面的膨胀有关 ， d ijpk与屈服面的平移有关 。
假设这两个应变分量为d jpiMd jp,d jpk（1 M）d jp（ 6-51）其中 ， M为混合强化参数 ， 其大小范围为0 M 1 。
M的值就是调节两种强化法则的贡 献和模拟Bausch in ger效应的不同程度 。
当M0时 ， 恢复为随动强化；而当 M 1时 ， 恢复为各向同性强化 。
6.5有效应力和有效塑性应变在产生塑性变形的过程中可以观察到强化反应 ， 其强化程度取决于塑性加载的历史 。

34、 。
为了描述强化性质 ， 需要：记录塑性加载的历史；描述强化与塑性加载历史的关系 。
对于前者 ， 已经引进了强化函数（或者增长函数）k ， 而对后者 ， 已经引进了被称为强化参数的单调增长标量 。
强化函数 k是关于强化参数的函数 ， 它的函数形式是与材料有关的 。
最普通的材料试验是单轴加载试验 ， 我们经常用这类试验来识别在一般加载条件下描述 强化性质的必要参数 。
因此 ， 为方便计 ， 我们定义有效应力e和有效塑性应变 p ,它们是分别折算为单轴应力试验中的应力和塑性应变 。
强化函数k与有效应力e有关 ， 有效塑性应变p可能被取为强化参数本身 ， e是p的函数 ， 函数的具体形式决定于单轴试验数据 。
6.5.1有效应力对于一个各向同性强化材料 ， 屈服 。

35、函数的展开式用式（6-42）表示 。
换言之 ， 此式与强化特性相关 ， 因此很自然地利用f0（ ij）以如下形式来定义有效塑性应力e,即f（ j）a e1其中 ， A和n由e折算为单轴试验中应力1的条件来确定 。
比如 ， 对于von Mises材料 ， 可以假设f0（ ij） J2 ， 则有J 2A等于1 ， 而其他应力分量都为零 ， 从这个条件可以得对于在X1方向的单轴加载试验,到A 1 3和n 2 ， 因此因为在塑性变形中 ， f0 k 0 ,e V 3J 2对这种材料的强化函数k用e表示为(6-52)6-25【例6-5】求出Drucker Prager材料的 e的表达式 。
【解】因为fo( j) Ii . J2 ， 所以有因为Druck 。

36、er Prager模型经常用于岩石、土等材料 ， 塑性变形一般都与压缩加载有关 。
因此 ， 要确定 A和n两个常数 ， 就要使e折算成单轴压缩试验的应力 。
那么有13,从这里得到(6-53)j ,也要涉及折算应力张量3( I1. J2).31在随动强化和混合强化准则中 ， 我们不仅要涉及应力张量 二 。
因此折减有效应力 一e也是必需的 ， 且定义为Wij) AL其中 ， A和n两个常数简单取为关于e时一样的那些值 ， 例如 ， 对于von Mises材料有A 1 3和n 2 。
应当注意 ， 折减有效应力与屈服面的膨胀有关 。
6.5.2有效塑性应变为记录(变形)历史提出两个假设：一个是假设强化依赖于塑性功Wp ， 即屈服的抗力取决于在材料上所做 。

37、的总塑性功 W p ,这被称为加工强化假设；另一个假设称作应变强化假 设 ， 假设强化与总的塑性变形有关 ， 同时塑性变形经常被表示为所谓的有效塑性应变p 。
符合这两个假设的材料被分别称为加工强化材料和应变强化材料 。
W p和p这两个参数均可以称为强化参数 ， 通常由来表示 。
从实用的观点来看 ， 用p比Wp更容易 。
因此 ， 在弹塑性分析中 ， p比Wp用得更多 。
有效塑性应变 p用塑性应变增量的简单组合来确定 ， p的值总是正的、增大的 。
最简单的形式是d p C d ij d ij（6-54）gC其中 ， 正的常数 C将由d p折算为在Xi方向单轴加载试验的d 1P的绝对值的条件来确定 。
利用流动法则 ， 得到pd 11g d,d p。

38、Cg11ijg dij(6-55)在轴向加载条件下 ， 按定义d p等于d 1p ， 因此从式（6-55）中可得(6-56)这里各项都应取轴向加载条件下的值 。
【例6-6】采用关联流动法则求出von Mises和Drucker Prager模型的p的表达式 。
【解】考虑X1方向的单轴加载试验 ， 这里11是惟一一个非零应力分量 。
von Mises 模型：f g J2 k由式(6-56)导出s112J2Cg 11-7J 2 k对于单轴试验有(6-57)Drucker Prager 模型：f类似他 ， 从式（6-56 ）有|( 1V3) 11J(3 2 ”2) *对于单轴压缩试验 ， 有(6-58)注意到上式在0时就退化 。

39、为式（6-57） 。
在混合强化法则中 ，如式（6-50）所述 ， 我们把塑性应变总的增量分解为两部分,和d f 。
塑性应变增量的各向同性部分djpi与屈服面膨胀有关 ， 用它来定义折算有效塑性应变dp为将式（6-51左）代入上式得d_p Md p（6-59）对这种形式的材料 ， 强化函数k是关于折减的有效塑性应变d_p的函数 。
同样地 ， 塑性应变增量的随动部分d ijpk与屈服面的平移有关 ， 被用来定义随动强化法则 。
因此 ， 考虑到式（6-51右）和（6-59） ， 可以把式（6-46）和式（6-47）重新表示为对Prager法则d j cd jpk c(1 M)d jp(6-60)对Ziegler法则d ja( j j。

40、)(d p d_p)a(1 M)( jij )d p(6-61 )6.5.3有效应力有效塑性应变关系 有效应力-有效应变关系表示了弹塑性材料强化过程的特性, 定 ， 它的一般形式为现在用单轴应力试验来标（6-62）微分法给出增量关系d e H pd p其中 ， Hp d e/d p称为塑性模量 。
对各向同性强化材料,(6-63)H p表示屈服面的膨胀率 。
对于混合强化材料 ， e的变化归因于屈服面的膨胀和平移 。
假设屈服面的膨胀由折减的有效应力-应变关系来决定ep）(6-64)对上面的方程进行微分可以得到屈服面的膨胀率e Hpdp MHpd p(6-65)其中 ， H p为与屈服面的膨胀有关的塑性模量 。
e（ p）（ 。

41、或者塑性模量 Hp ）的函数形式将由试验数据来确定 。
对于一个混合强化材料 ， 一e（ =）（或Hp ）的函数形式和混合强化参数 M也需要确定 。
但是 ， 这里应该注意到eCp）和M并不是相互独立的 ， 如果 M给定 ， 就能根据 e（ p）来建立函数eCp） 。
为了证明这一点 ， 首先令de de B（1 M ）d p（6-66）其中 ， 系数B取决于随动强化法则和塑性势能函数的类型 。
由式（6-66）和式（6-63）、式（6-65 ）容易导出Hp M （H p B） B（ 6-67）塑性模量Hp能够由单调加载的试验结果确定 。
但是 ， 只是进行单调加载试验的话 ， 控制在反向加载试验中观察的Bausch in ger效应程度的混合 。

42、强化参数M则是不确定的或者说是任意的 ， 因此M的值不应该影响 Hp的值 。
那么式（6-67）要求利用式（6-63）和式（6-65） ， 可以把B Hp, HpHp(6-68)e禾口e表示为Hpdp0 Hpdp(6-69)其中 ， o是在单轴加载试验中的屈服应力 。
根据式（6-59）和式（6-68右） ， 可以把式（6-69右）重新表示为pM 0 Hpd p(6-70)考虑式（6-69左）和式（6-70） ， 可得(6-71)式（6-71）显然表明 ， -和M并不互相独立 。
一旦e（ p）的函数形式和混合强化参数M由单轴试验数据确定了 ， _e也就能通过式（6-71 ）得到 。
6.6加工强化材料的增量应力应变关系在这一节中 ， 将推 。

43、导强化材料的增量应力和应变关系 。
对于每一个强化法则 ，将得到两组本构方程：（1） 一个是用应力增量 d j的形式表示应变增量 d j ； （2）另一个是用应变 增量d ij的形式表示应力增量 d j 。
在6.3节中我们已经推导出了理想塑性材料的应力一应变增量关系 。
这里所采取的方法基本上是一样的 。
我们将利用式（6-4）（流动法则） ， 式（6-17）（应变分解式）和式（6-18） 或式（6-19）（虎克定律） 。
但一致性条件有点不同于式（6-21 ） 。
实际上 ， 对不同的材料它采用的形式不同 ， 因此这里没有给出它的数学表达式 。
另外 ， 和理想塑性材料不同 ， 应变增量d j可以由应力增量d j惟一确定 。
因此除式（6- 。

44、18）之外 ， 还需要虎克定律的如下形式：ed jDjkl d j（6-72）其中 ， Dijkl是弹性柔度强量 。
661各向同性强化因此对于各向同性强化材一致性条件要求在塑性变形过程中应力点总是位于屈服面上 。
料 ， 以下两个方程也必须满足：f ( ij ,p)0,f( ij d j, p d p)0(6-73)利用式（6-42 ）、式（6-55右）和式(6-63) ， 得到应力增量形式的表达式:-dijij hd 0(6-74)其中HpC(6-75)ij ij以应力增量表示的应变增量根据式（6-74 ）有d ij ij(6-76)将上式代入式（6-4）和式（6-55右）则得出d ijPd klh klij考 。

45、虑到式（6-17 ）、式（6-72）和式（6-77 左） ， g g fh ij ij kl得到应变增量的表达式kl(6-77)d ijDijkl dklklgklij(6-78)d ijDiePdkl(6-79)其中 ， DjkP是弹塑性柔度张量,表示为Djki(6-80)6-31ijkl利用式（6-78）或式（6-79）连同式（ 路径 。
6-77左） ， 可以根据给定的应力路径计算出应变以应变增量表示的应力增量考虑到式（6-19）和式（6-74） ， 可得fgCijkl d kl dhdijkld ij c(1 M)d c(1 M)(6-91 )在这里可以把d和应变增量联系起来 ， 则有其中Cijkl d kl 。

46、 ij(6-81 )-Cijkl ijkl(6-82)6-35从式（6-4）、式（6-55）和式（6-81）可得到d iff C dgpqrsrsdpCHII IggC pqrs d rs(6-83)pqijH .ijijpq6-19）得到应力一应变增量关系为1H将式（6-83左）代入式（ij C ijkl d kl HC pqrs dpqrskl(6-84)ijCijkl d kl(6-85)这里 ， cep是弹塑性刚度张量 ， 表示为其中epCijklijkl丄H耳H kl H ij(6-86)H ijCijmnHklmnC pqklpq(6-87)利用式（6-84）或式（6-85）及式（6-83 。

47、 右） ， 可以对一个给定的应变路径计算应力路径 。
6.6.2混合强化正如前面在6.4.3和6.5.3节所讨论的 ， 对于混合强化材料的屈服面表示为(6-88)f ( ij ,ij ,p )f0 ( ij ,ij)kp)0在塑性变形时 ， 一致性条件要求f ( ij , ij , p )0, f(ij d ij ,ijd ij,p d p)0(6-89)考虑到式（6-55右）、（6-65）、式（7.68右）和式（6-88） ， 并注意到强化函数k用折减有效应力e的形式给出 ， 可以得到以增量形式表示的一致性条件为d ijd ijijij反应力增量d ij与塑性变形相关 。
dkH pMC d eg g d 0ij ij 。

48、如果用Prager强化法则式（6-60） ， 则有(6-90)ij或者 ， 如果用Ziegler强化法则式（6-61）,则有d j a(1 M)( jij )d Pa(1 M)( jj)Cg-一g df kl kl(6-92)kl因此 ， 在两者中的任一情况下,可写出(1M )Aijd(6-93)其中 ， 对Prager法则,Aijcij(6-94)对Ziegler法则 ， 有Aija(ijj)c g g(6-95)kl kl将式（6-93）代入式（6-90)导出-dijijhmd(6-96)其中hm-(1ijM)Aj斧 。
MCij ij(6-97)以应力增量表示的应变增量 按前面章节中讲述的各向同性强化情况 ， 同样 。

49、可以推导得到(6-98)1fd ij -m（1 M）Aj d kl hkld jPhmklklijijijMhDjkPdDijkl dklklklijijklhmd kl(6-99)(6-100)(6-101)(6-102)klij其中epijklDijklhmij以应变增量表示的应力增量推导思路与各向同性强化材料相同 ， 最终表达式为d ij1m(1 M)AjHC pqrsd rspq其中dijPHmMCHmpqijC pqrs d rsgijij_C pqrs d rspqdijCep dCijkl dkl m,mgHhCijklijklepCijklCijkl1um HijHklH(6-103)(6-104)(6-105)(6-105)(6-106)(6-107)(6-108)注意 ， hm ，Hij和H ki由式（6-97）和式（6-87）给出 。
。

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标题：塑性|塑性应力-应变关系01分析